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Autor: Holderbaum, Michael
Titel:Diskretisierung und Approximation von Bildern und morphologischen Bildoperatoren
Dissertation:TU Darmstadt, Fachbereich Mathematik, 2007

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Abstract auf Deutsch:


In der vorliegenden Dissertation werden systematisch verschiedene Aspekte der Diskretisierung und Approximation von Bildern und morphologischen Bildoperatoren untersucht. In der Theorie morphologischer Bildoperatoren, die in der Monographie Morphological Image Operators von Henk Heijmans umfangreich dargestellt ist, werden binäre Bilder als Teilmengen einer Grundmenge modelliert. Ausgangspunkt ist daher die Diskretisierung dieser Grundmenge, von der angenommen wird, dass sie ein lokalkompakter Hausdorffraum ist. Eine Methode zur Diskretisierung eines solchen Raumes durch lokalendliche geordnete Mengen (die auch als T0-Räume betrachtet werden können) wird für geeignete Räume vorgestellt, welche die parakompakten und damit die metrischen Räume einschließen. Dabei approximiert dann das System von Diskretisierungen den Ausgangsraum in dem Sinne, dass dieser ein Retrakt des inversen Limes besagten Systems ist. Aus der genannten Methode wird eine Möglichkeit zur Diskretisierung und Approximation binärer Bilder abgeleitet, die als abgeschlossene Teilmengen der Grundmenge modelliert werden. Dies wiederum eröffnet eine Möglichkeit zur Diskretisierung und Approximation Scott-stetiger Binärbild-Operatoren.

Grauwertbilder werden in der Theorie morphologischer Bildoperatoren als Abbildungen des Grundraums in einen vollständigen Verband von Grauwerten modelliert. Im Falle eines stark zulässigen Grauwert-Verbandes sind Ergebnisse zum Liften von Binärbild-Operatoren auf Grauwertbilder mittels Schwellenwert-Mengen bekannt. Es gibt jedoch kaum Erkenntnisse zu stark zulässige Verbänden selbst. Daher werden sie in der vorliegenden Arbeit genauer beleuchtet, wobei auch eine Charakterisierung für den endlichen Fall vorgestellt wird. Daraus ergibt sich die Vermutung, dass es sich bei stark zulässigen Verbänden beinahe um Ketten handelt. Ferner wird dargelegt, dass der Begriff des „zulässigen Verbandes“ mit dem des „vollständig distributiven Verbandes“ übereinstimmt und dass vollständig distributive Verbände eine geeignetere Voraussetzung darstellen, da sie Erweiterungen der bekannten Ergebnisse gestatten. Anschließend wird mit Hilfe von Schwellenwert-Mengen eine Diskretisierung und Approximation von Grauwertbildern aus derjenigen für Binärbilder hergeleitet. Erneut liefert das eine Möglichkeit zur Diskretisierung und Approximation Scott-stetiger Bildoperatoren – diesmal auf Grauwertbildern. Zudem wird eine Diskretisierung und Approximation von Grauwertbildern für den Fall vorgestellt, dass der Verband der Grauwerte anstelle des Grundraums diskretisiert wird. Abschließend wird die Möglichkeit betrachtet, Grauwertbilder durch Massenverteilungen zu modellieren. Hierbei werden stetige Bewertungen verwendet, die aus der Bereichstheorie bekannt sind. Es wird aufgezeigt, wie sich eine Diskretisierung und Approximation von stetigen Bewertungen aus derjenigen des Grundraums ableiten lässt.




Abstract auf Englisch:

In the present thesis various aspects concerning discretisation and approximation of images and morphological image operators are systematically investigated. Binary images in the context of morphological image operators, which is considerably presented in the monograph Morphological Image Operators by Henk Heijmans, are modelled as subsets of a basic set. Thus the starting point is the discretisation of this basic set which will be assumed to be a locally compact Hausdorff space. A method to discretize such a space by locally finite ordered sets (that can also be viewed as T0-spaces) is presented for suitable spaces including paracompact thus metric spaces. There the notion of the considered space being approximated by its discretisations is given by the fact that it is a retract of the inverse limit of its system of discretisations. A way to discretize and approximate binary images which are modelled as closed subsets of the basic set is then derived from the mentioned method. That in turn leads to a way to discretize and approximate Scott-continuous image operators for binary images.

Greyscale images in the context of morphological image operators are modelled as mappings from the basic set to a complete lattice of grey-values. In case of a strongly admissible grey-value lattice there are known results about lifting binary image operators to greyscale image operators by means of threshold-sets. However, little is yet known about strongly admissible lattices in general. They are therefore studied more precisely in the present work where in particular a characterization for the finite case is given. This leads to the assumption that these lattices are nearly chains. It is further shown that the terms “admissible lattice” and “completely distributive lattice” agree and that completely distributive lattices are more appropriate as they allow extensions of the known results. Next, threshold-sets are used in this work to derive a discretisation and approximation of greyscale images from the already mentioned discretisation of binary images. Again a discretisation and approximation of Scott-continuous operators can be achieved, this time for greyscale images. Moreover a discretisation and approximation of greyscale images is shown in the case that the grey-value lattice is discretized instead of the basic set. Finally, the possibility to model greyscale images by mass distributions is considered. At this, continuous valuations are used that are known from domain theory. It is shown that a discretisation and approximation of continuous valuations can be derived from that of the basic set.



Dokument aufgenommen :2007-03-16
URL:http://elib.tu-darmstadt.de/diss/000798