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Autor: Wockel, Christoph
Titel:Infinite-Dimensional Lie Theory for Gauge Groups
Dissertation:TU Darmstadt, Fachbereich Mathematik, 2006

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diss.pdf (1177053 Byte)

Abstract auf Deutsch:


Ziel dieser Arbeit ist die Initialisierung einer Lie-theoretischen Behandlung von Eichgruppen als Symmetriegruppen von Hauptfaserbündeln. Für ein fixes K-Hauptfaserbündel P bezeichnen wir diese Gruppen mit Gau(P) und identifizieren sie meistens mit der Gruppen der äquivarianten glatten Abbildungen C(P,K)K. Diese Gruppen werden als unendlichdimensionale Lie-Gruppen behandelt, die auf geeigneten lokalkonvexen Räumen modelliert sind. Da unendlichdimensionale Lie-Theorie ein Gebiet ist, das momentan einem regen Forschugsprozess unterworfen ist und die Terminologie noch nicht gefestigt ist, müssen wir die Fragestellung präzisieren. In dieser Arbeit wird den folgenden Fragen nachgegangen: Dies ist natürlich nur ein kleiner Teil der Fragen, die mit Lie-Gruppen verbunden sind. Sie haben die Gemeinsamkeit, dass sie alle mit der gleichen Idee behandelt werden können, die wir im Folgenden beschreiben. Ein Bündel kann (bis auf Äquivalenz) auf mehrere verschiedenen Arten beschrieben werden. Zwei fundamental verschiedene Arten sind durch die Beschreibung durch eine klassifizierende Abbildung fP und durch einen Kozyklus kP gegeben. Eine klassifizierende Abbildung fP ist eine global definierte Abbildung mit Werten in einem klassifizierenden Raum, während ein Kozyklus aus vielen lokal definierten Abbildungen besteht, die Werte in der Lie-Gruppe K annehmen und bestimmte Kompatibilitätsbedingungen erfüllen. Diese beiden Objekte, klassifizierende Abbildungen und Kozyklen, leben in zwei verschiedenen Welten, nämlich Topologie und Lie-Theorie. Die Idee ist nun, diese beiden Konzepte zu kombinieren und die bestehenden Resultate aus Topologie und Lie-Theorie zu benutzen um Antworten auf die oben genannten Fragen zu erhalten. Da diese Fragen recht allgemein gehalten sind kann man nicht erwarten, Antworten in dieser Allgemeinheit zu erhalten. In dieser Arbeit werden wir jedoch viele interessante Fälle aus der mathematischen Physik behandeln. Die dabei erzielten Resultate beinhalten:


Abstract auf Englisch:

The aim of this thesis is to consider symmetry groups of principal bundles and to initiate a Lie theoretic treatment of these groups. These groups of main interest are called gauge groups. When taking a particular principal K-bundle P into account, we denote the gauge group of this bundle by Gau(P), which we mostly identify with the space of smooth K-equivariant mappings C(P,K)K. These groups will be treated as infinite-dimensional Lie groups, modelled on an appropriate vector space. Since Lie theory in infinite dimensions is a research area which is presently under active development, this terminology is not settled, and we have to make precise what we mean with ``infinite-dimensional Lie theory''. The following questions are considered in this thesis: Of course, this is only a marginal part of the questions that come along with Lie groups. These problems have in common that they can be approached with the same idea, which we describe now. Along with a bundle P come many different ways of describing it (up to equivalence). Two fundamental different ways are given by describing P either in terms of a classifying map fP, or by a cocycle kP. A classifying map fP is a globally defined map fP with values in some classifying space, while a cocycle consists of many locally defined maps, with values in a Lie group, obeying some compatibility conditions. These objects, classifying maps and cocycles, live in two different worlds, namely topology and Lie theory. The idea now is to combine these two concepts and to use the existing tools from topology and Lie theory in order to give answers to the questions above. Since the questions are formulated quite generally, we cannot hope to get answers in full generality, but for many interesting cases occurring in mathematical physics, we will provide answers. These include:

Dokument aufgenommen :2006-11-29
URL:http://elib.tu-darmstadt.de/diss/000752