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Anwendung finiter Gruppen zur effizienten Berechnung elektromagnetischer Felder in symmetrischen Strukturen auf Basis der Randelementmethode

Sievers, Denis :
Anwendung finiter Gruppen zur effizienten Berechnung elektromagnetischer Felder in symmetrischen Strukturen auf Basis der Randelementmethode.
[Online-Edition]
TU Darmstadt
[Ph.D. Thesis], (2008)

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Item Type: Ph.D. Thesis
Title: Anwendung finiter Gruppen zur effizienten Berechnung elektromagnetischer Felder in symmetrischen Strukturen auf Basis der Randelementmethode
Language: German
Abstract:

In der Praxis sind häufig elektromagnetische Feldprobleme anzutreffen, die durch eine gewisse geometrische Symmetrie gekennzeichnet sind. Bei ihrer numerischen Behandlung ist es im Hinblick auf den damit erzielbaren Rechenvorteil wünschenswert, Redundanzen in der geometrischen Modellbeschreibung und, damit verbunden, in der Rechengebietsgröße zu vermeiden. Auf Basis gruppentheoretischer Methoden ist es bei Vorliegen einer durch eine finite Gruppe charakterisierten Symmetrie möglich, aus einer bestimmten Klasse stammende Randwertaufgaben in mehrere, voneinander unabhängige Teilprobleme zu zerlegen, die auf einem Gebiet reduzierter Größe definiert sind. Dabei muss die Anregung selbst keine symmetrischen Eigenschaften aufweisen. Dieses als nichtkommutative harmonische Analyse bezeichnete Konzept wurde bisher im Rahmen der Randelementmethode nur auf Integralgleichungstypen mit Belegfunktionen, an die keine Stetigkeitsforderungen gestellt sind, angewandt. In der vorliegenden Arbeit wird anhand der Reduktion der elektrischen Feldintegralgleichung mit Fokus auf elektromagnetische Streuprobleme und Eigenwertaufgaben eine Verallgemeinerung dieser Methodik zur Erweiterung ihrer Anwendbarkeit auf Formulierungen mit stetigen Randbelegungen vorgeschlagen. Ausgehend von der direkten Herleitung gängiger Oberflächenintegralgleichungsformulierungen wird zu Beginn ein als Momentenmethode bekanntes Projektionsverfahren vorgestellt, das im weiteren Verlauf zur approximativen Lösung der elektrischen Feldintegralgleichung dienen soll. In diesem Kontext werden zwei weit verbreitete Techniken zur Regularisierung der in diesem Prozessschritt auftretenden singulären Integrale hinsichtlich Genauigkeit und Effizienz miteinander verglichen und ihr Einfluss auf die Konvergenzeigenschaften des eingesetzten Quadraturverfahrens untersucht. Im Hauptteil der Arbeit wird nach Einführung wichtiger Begriffe und Definitionen aus der Gruppen- und Darstellungstheorie die grundlegende Idee des abstrakten Formalismus der harmonischen Analyse auf finiten Gruppen dargelegt sowie die erforderlichen Voraussetzungen für deren Anwendbarkeit herausgearbeitet. Anschließend wird die Transformation der hier betrachteten Modellgleichung in einen Satz voneinander unabhängiger, strukturgleicher Integralgleichungen demonstriert, dessen Äquivalenz zum Ausgangsproblem jedoch erst durch Vorgabe zusätzlicher Zwangsbedingungen auf den durch die Einschränkung des Rechengebiets entstehenden Schnitträndern herstellbar ist. Zentralen Arbeitsschwerpunkt bildet eine systematische und mathematisch strenge Ableitung dieser von den Stetigkeitseigenschaften der Feldgrößen abhängigen Schnittkantenbedingungen sowie deren Einbindung in den darauf folgenden Diskretisierungsprozess, wozu speziell angepasste Ansatzfunktionen entwickelt werden. Besonderer Wert wird dabei auf eine möglichst allgemein gehaltene Darstellung sowie methodische Vorgehensweise gelegt, damit eine einfache Übertragbarkeit auf weitere Problemformulierungen ohne Schwierigkeiten möglich ist. Aufgrund der erreichten Zerlegung in mehrere, voneinander unabhängige Systeme reduzierter Größe wird im Vergleich zur Lösung des Gesamtproblems sowohl der Speicherplatzbedarf als auch der Rechenzeitaufwand um einen von der zugrunde liegenden Symmetriegruppe abhängigen Faktor, für den entsprechende Abschätzungen angegeben werden, herabgesetzt. Am Beispiel der numerischen Berechnung des Rückstreuquerschnitts der in der Hobbyschifffahrt zum Einsatz kommenden oktaedrischen Radarreflektoren sowie der Eigenwertanalyse eines in der Beschleunigertechnik verwendeten Hohlraumresonators wird die Leistungsfähigkeit und Einsetzbarkeit der vorgestellten Methode verdeutlicht.

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage
In practice we commonly have to deal with electromagnetic field problems, which exhibit a certain geometrical symmetry. With regards to their numerical treatment and the achievable computational advantages, it is desirable to avoid redundancies within the geometric modeling and thus the size of the computational domain respectively. Given the case of a certain symmetry that can be characterized by a finite group, group theoretical methods allow us to split certain classes of boundary value problems into multiple independent partial problems, which are defined on sub-domains of reduced size. Thereby the excitation itself does not necessarily need to exhibit symmetrical properties. This concept is known as non-commutative harmonic analysis. It has only been applied to integral equations within the framework of the boundary element method until now, by using densities without required continuity. By reducing the electric field integral equation for electromagnetic scattered field problems, the present work proposes a generalization of this method by extending its applicability towards formulations featuring continuous densities. Beginning with directly deriving common surface integral equations, a projection technique is introduced, which is well-known as the method of moments. In the following, this method serves to determine an approximate solution for the electric field integral equation. In this context, two popular techniques for regularization of the singular integrals that occur in this step are investigated. The two methods are compared against each other with respect to accuracy, efficiency and their impact on the convergence properties of the used quadrature method. In the main section of this work, the basic ideas of the abstract formalism of harmonic analysis on finite groups will be explained. The necessary pre-requirements for its applicability is shown after introducing several useful terms and definitions from group and representation theory. Finally, the transformation for the underlying model equation into a set of independent integral equations of equal mathematical structure will be demonstrated. The equivalence to the initial problem will be backed up by imposing additional constraints on the cutting boundary. A main focus lies in the systematical and mathematically strict derivation of the cutting edge conditions which depend on continuity properties of the electric field quantities. For the purpose of embedding them in the following discretization process, specially adapted basis functions are developed. Special attention is paid towards maintaining a systematical procedure and generality, thus providing a simple transferability on further problems. Through splitting the problem into multiple independent systems of reduced size, calculation time as well as memory comsumption compared to solving the full problem are lowered by a certain factor. An estimate for this factor is given depending on the underlying symmetry group. The performance and applicability of the method is demonstrated by numerically calculating the backscattering cross section of an octahedral radar reflector as it is used by amateur navy and the eigenvalue analysis of a cavity resonator as it can be found in particle accelerator technology.English
Uncontrolled Keywords: Randelementmethode, numerische Feldberechnung, numerische Methoden, Symmetrie, finite Gruppen, Symmetriereduktion, nichtabelsche Gruppen, Symmetrietransformation, nichtkommutative harmonische Analyse, verallgemeinerte Fourier-Transformation
Alternative keywords:
Alternative keywordsLanguage
Randelementmethode, numerische Feldberechnung, numerische Methoden, Symmetrie, finite Gruppen, Symmetriereduktion, nichtabelsche Gruppen, Symmetrietransformation, nichtkommutative harmonische Analyse, verallgemeinerte Fourier-TransformationGerman
Boundary Element Method, Numerical Field Computation, Numerical Methods, Symmetry, Finite Groups, Symmetry Reduction, Non-Abelian Groups, Symmetry Transformations, Non-Commutative Harmonic Analysis, Generalized Fourier TransformEnglish
Classification DDC: 600 Technik, Medizin, angewandte Wissenschaften > 620 Ingenieurwissenschaften
Divisions: Fachbereich Elektrotechnik und Informationstechnik
Date Deposited: 17 Oct 2008 09:22
Last Modified: 07 Dec 2012 11:53
Official URL: http://elib.tu-darmstadt.de/diss/000967
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-9671
License: Simple publication rights for ULB
Referees: Weiland, Prof. Dr.- Thomas and Eibert, Prof. Dr.- Thomas
Advisors: Weiland, Prof. Dr.- Thomas
Refereed: 24 January 2008
URI: http://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/id/eprint/967
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