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Symmetrien, Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen in verallgemeinerten Elastizitätstheorien mit Mikrostruktur und Eichfeldtheorien der Versetzungen

Anastassiadis, Charalampos :
Symmetrien, Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen in verallgemeinerten Elastizitätstheorien mit Mikrostruktur und Eichfeldtheorien der Versetzungen.
[Online-Edition]
TU Darmstadt
[Ph.D. Thesis], (2008)

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Item Type: Ph.D. Thesis
Title: Symmetrien, Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen in verallgemeinerten Elastizitätstheorien mit Mikrostruktur und Eichfeldtheorien der Versetzungen
Language: German
Abstract:

Es werden Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen für ein elastisches Kontinuum mit einer deformierbaren Mikrostruktur hergeleitet. Unter Benutzung der Lie-Gruppen Theorie findet man alle Lie-Punkt Symmetrien, welche die Lagrangedichte der elastischen Kontinua mit einer Mikrostruktur invariant lassen. Das Noether Theorem dient in der Feldtheorie als Mittel zur Herleitung von Erhaltungssätzen aus den bekannten kontinuierlichen Lie-Punkt Symmetrien. Die Erhaltung des Impulses und Drehimpulses folgt entsprechend aus der räumlichen Translations und Rotationssymmetrie. Die Erhaltung der Energie entspricht der Translationssymmetrie in der Zeit. Beim Übergang von dem klassischen elastischen Kontinuum in ein solches mit einer Mikrostruktur wird die Skalierungssymmetrie der Lagrangedichte gebrochen. Dadurch entsteht aus einem Erhaltungssatz eine Bilanzgleichung. Auf der gleichen Art und Weise wie für ein elastisches Medium mit einer Mikrostruktur findet man Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen für die lineare Gradientenelastizität. In der hier behandelten Gradientenelastizität wird in der Materialgleichung für die Spannung zusätzlich zum ersten noch der zweite Verschiebungsgradient berücksichtigt. Nach einer kurzen Einführung in die inkompatible Elastizität und nachdem man ein Verständnis für die relevanten physikalischen Größen wie den Versetzungsdichtetensor bekommen hat, wird die T(3) Eichtheorie der Versetzungen für ein linear isotropes elastisches Kontinuum behandelt. Man wählt dabei einen asymmetrischen Spannungstensor als Verallgemeinerung des bis jetzt üblich verwendeten symmetrischen Cauchyschen Spannungstensors. Die Lagrangedichte setzt sich additiv aus zwei Bestandteilen zusammen, jenen inkompatiblen elastischen Anteil und einen solchen, welcher den Versetzungskern an sich beschreibt. Bei der Behandlung der Versetzungstheorie nach der inkompatiblen Elastizitätstheorie taucht der Versetzungskernanteil nicht auf. Unter Verwendung der gleichen mathematischen Methoden wie zuvor in dieser Arbeit konstruiert man die Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen. Man zeigt die Bedeutung der Eichfeldtheorie zur Bestimmung regulärer Lösungen im Gebiet um den Versetzungskern für eine Schrauben und Stufenversetzung. Aufgrund der Zylindersymmetrie für das anti-ebene Distorsionsproblem der Schraubenversetzung spielt nur eine innere Länge eine Rolle. Im Gegensatz dazu, liefert die Eichfeldtheorie mit asymmetrischen Spannungen zwei innere Längen. Somit lassen sich die Momentenspannungen sowohl aus reinen Torsionsexperimenten wie auch Biegeexperimenten berechnen. Schließlich bekommt man einen kurzen Einblick in die Gleichungen der dynamischen Eichfeldtheorie der Versetzungen.

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage
Conservation and balance laws are derived for generalized continuous media such as a microstrech and micromorphic elastic solid. This is achieved by using Lie-group theory, which provides us with all the continuous Lie-point symmetries leaving the appropriate Lagrangians for the description of elastic materials with microstrucutre invariant. The Noether Theorem works in field theory as a tool for obtaining conservation laws from continuous symmetries. Conservation of linear and angular momentum arises respectively from translation and rotation in space, whereas conservation of energy is caused because of the translational symmetry in time. By passing from classical continuum theory of elasticity to an elastic continuum containing a microstructure, scaling symmetry is broken. As a consequence the conversion of a conservation law into a balance law is taking place. In exact the same manner conservation and balance laws for the linear gradient elasticity are found, whose constitutive relation for the stress takes in addition to the first also the second diplacement gradient into account. After a brief introduction into incompatible elasticity and giving an insight into physical quantities such as the dislocation density tensor, we present the T(3)-gauge theory of dislocations in an isotropic elastic medium. Thereby an asymmetric stress tensor is choosed as a generalisation of the until now always used symmetric Cauchy stress tensor. The Lagrangian is composed of two parts, an incompatible elastic one and a part responcible for the dislocation core, which is missing in classical incompatible elasticity. Using the same techniques as we did for the other theories of generalized elastic media, we construct conservation and balance laws. The value of the translational gauge theory of dislocations for obtaining regular solutions for the distortion and stress field around the core of a screw and edge dislocation is also shown. Due to the cylindrical symmetry of the anti-plain strain problem for a screw dislocation only one inner length comes into play. On the contrary, for the plain strain problem of an edge dislocation gauge theory with asymmetric stress predicts for the first time two inner lengths, being now able to describe couple stresses arising from pure torsion as well as bending experiments of probes. Finally an insight into the dynamical equations of the gauge theory of dislocations is shortly provided.English
Uncontrolled Keywords: gauge theory, gauge transformation, Lie group, elasticity theory, microstructure
Alternative keywords:
Alternative keywordsLanguage
gauge theory, gauge transformation, Lie group, elasticity theory, microstructureEnglish
Divisions: Fachbereich Bauingenieurwesen und Geodäsie
Date Deposited: 17 Oct 2008 09:22
Last Modified: 07 Dec 2012 11:53
Official URL: http://elib.tu-darmstadt.de/diss/000935
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-9353
License: Simple publication rights for ULB
Referees: Tsakmakis, Prof. Dr.- Charalampos
Advisors: Lazar, Dr. rer. n Markus
Refereed: 14 December 2007
URI: http://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/id/eprint/935
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