# Numerical Methods for Parabolic-Elliptic Interface Problems

### Schorr, Robert (2019):Numerical Methods for Parabolic-Elliptic Interface Problems.Darmstadt, Technische Universität, [Ph.D. Thesis]

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2019_05_25_Schorr_Dissertation_Final.pdf - Published Version
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Item Type: Ph.D. Thesis
Title: Numerical Methods for Parabolic-Elliptic Interface Problems
Language: English
Abstract:

In this thesis, we consider the numerical approximation of parabolic-elliptic interface problems with variants of the non-symmetric coupling method of MacCamy and Suri [Quart.Appl. Math., 44 (1987), pp. 675–690]. In particular, we look at the coupling of the Finite Element Method (FEM) and the Boundary Element Method (BEM) for a basic model problem and establish well-posedness and quasi-optimality of this formulation for problems with non-smooth interfaces. From this, error estimates with optimal order can be deduced. Moreover, we investigate the subsequent discretisation in time by a variant of the implicit Euler method. As for the semi-discretisation, we establish well-posedness and quasi-optimality for the fully-discrete scheme under minimal regularity assumptions on the solution. Error estimates with optimal order follow again directly.

The class of parabolic-elliptic interface problems also includes convection-dominated diffusion-convection-reaction problems. This poses a certain challenge to the solving method, as for example the Finite Element Method cannot stably solve convection-dominated problems. A possible remedy to guarantee stable solutions is the use of the vertex-centred Finite Volume Method (FVM) with an upwind stabilisation option or the Streamline Upwind Petrov Galerkin method (SUPG). The FVM has the additional advantage of the conservation of the numerical fluxes, whereas the SUPG is a simple extension of FEM. Thus, we also look at an FVM-BEM and SUPG-BEM coupling for a semi-discretisation of the underlying problem. The subsequent time-discretisation will again be achieved by the variant of the implicit Euler method. This allows us to develop an analysis under minimal regularity assumptions, not only for the semi-discrete systems but also for the fully-discrete systems.

Lastly, we show some numerical examples to illustrate our theoretical results and to give an outlook to possible practical applications, such as eddy current problems or fluid mechanics problems.

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage
In dieser Dissertation beschäftigen wir uns mit der numerischen Approximation von parabolisch-elliptischen Interfaceproblemen. Zur Lösung werden verschiedene Varianten der nichtsymmetrischen Kopplungsmethode von MacCamy und Suri aus [Quart. Appl. Math.,44 (1987), S. 675–690] verwendet. Im Speziellen betrachten wir die Kopplung der Finiten Elemente Methode (FEM) mit der Randelementemethode (BEM) für ein einfaches Modellproblem. Wir zeigen die Wohlgestelltheit des Problems und, dass wir eine quasi-optimale Lösung erhalten, auch wenn der Rand des Gebietes nicht glatt ist. Hieraus können Fehlerabschätzungen optimaler Ordnung abgeleitet werden. Des Weiteren betrachten wir die darauffolgende Zeitdiskretisierung durch eine Variante der impliziten Eulermethode. Genauso wie für die Semidiskretisierung können wir für die Volldiskretisierung Wohlgestelltheit und Quasioptimalität unter minimalen Regularitätsanforderungen zeigen. Hieraus können wieder Fehlerabschätzungen optimaler Ordnung abgeleitet werden. Die Klasse der parabolisch-elliptischen Interfaceprobleme umfasst auch konvektionsdominierte Diffusions-Konvektions-Reaktions-Probleme. Dies stellt die Lösungsmethode vor weitere Herausforderungen, da zum Beispiel die Finite Elemente Methode keine stabile Lösung für konvektionsdominierte Probleme berechnen kann. Zwei Möglichkeiten stabile Lösungen zu erhalten, sind die Finite Volumen Methode (FVM) mit einer Upwindstabiliserung sowie die Streamline Upwind Petrov Galerkin Methode (SUPG). Die FVM erhält zusätzlich noch die numerischen Flüsse. Die SUPG Methode hingegen ist eine einfache Erweiterung der FEM. Daher betrachten wir auch die FVM-BEM sowie die SUPG-BEM Kopplung für die Semidiskretisierung des parabolisch-elliptischen Problems. Für die Zeitdiskretisierung verwenden wir wieder die Variante der impliziten Eulermethode. Hierdurch können wir die Semi- sowie die Volldiskretisierung unter minimalen Regularitätsanforderungen analysieren. Zuletzt zeigen wir einige numerische Beispiele, welche die theoretischen Resultate illustrieren und einige mögliche praktische Anwendungen aufzeigen, wie zum Beispiel Wirbelstromprobleme oder Probleme aus der Fluidmechanik.German