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Realizing Hyperbolic and Elliptic Eisenstein Series as Regularized Theta Lifts

Völz, Fabian (2018):
Realizing Hyperbolic and Elliptic Eisenstein Series as Regularized Theta Lifts.
Darmstadt, Technische Universität, [Ph.D. Thesis]

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Item Type: Ph.D. Thesis
Title: Realizing Hyperbolic and Elliptic Eisenstein Series as Regularized Theta Lifts
Language: English
Abstract:

The classical parabolic Eisenstein series is a non-holomorphic modular form of weight 0, which is associated to a cusp of a given Fuchsian group of the first kind. Recently, hyperbolic and elliptic analogs of parabolic Eisenstein series were studied by Jorgenson, Kramer and von Pippich. These are non-holomorphic modular forms of weight 0, which are associated to a geodesic or a point of the complex upper half-plane, respectively. In particular, Kronecker limit type formulas were investigated for elliptic Eisenstein series.

In the present thesis we show that hyperbolic and elliptic Eisenstein series for Hecke congruence subgroups can be realized as regularized theta lifts of non-holomorphic Poincaré series of Selberg type. More precisely, we present three different lifting results. Firstly, averaged versions of hyperbolic, parabolic and elliptic Eisenstein series are obtained as the regularized Borcherds lift of Selberg's Poincaré series in signature (2,1). Here the type of the Eisenstein series is solely determined by the sign of the index of the Poincaré series. Secondly, we realize a certain hyperbolic kernel function as a regularized Borcherds lift of a modified version of Selberg's Poincaré series in signature (2,2). Using known relations between this hyperbolic kernel function, and hyperbolic and elliptic Eisenstein series, we obtain realizations of the latter functions in terms of the mentioned Borcherds lift. Thirdly, we show that using a new Maass-Selberg type of Poincaré series as an input for the regularized Borcherds lift in signature (2,2), we obtain individual elliptic Eisenstein series.

In the final two chapters of this work we present a detailed study of the meromorphic continuation of Selberg's Poincaré series in the case of signature (2,1). Evaluating this continuation at a special harmonic point, we can express the linear term in the Laurent expansion of averaged hyperbolic, parabolic and elliptic Eisenstein series at this point in terms of certain Borcherds products. This method enables us to generalize known Kronecker limit formulas in the elliptic case to higher levels, and to establish new Kronecker limit formulas for hyperbolic Eisenstein series associated to infinite geodesics.

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage
Die klassische parabolische Eisensteinreihe ist eine nicht-holomorphe Modulform vom Gewicht 0, welche zu einer Spitze einer gegebenen Fuchsschen Gruppe der ersten Art assoziiert ist. Vor einiger Zeit wurden hyperbolische und elliptische Analoga von parabolischen Eisensteinreihen von Jorgenson, Kramer und von Pippich untersucht. Dabei handelt es sich ebenfalls um nicht-holomorphe Modulformen vom Gewicht 0, welche jedoch zu Geodäten oder Punkten in der komplexen oberen Halbebene assoziiert sind. In diesem Zusammenhang wurden insbesondere Kroneckersche Grenzformeln für elliptische Eisensteinreihen studiert. In der vorliegenden Arbeit zeigen wir, dass hyperbolische und elliptische Eisensteinreihen zu Hecke-Kongruenzuntergruppen als regularisierte Thetaliftungen von bestimmten nicht-holomorphen Poincaré-Reihen dargestellt werden können. Dazu geben wir drei unterschiedliche Liftungsresultate an. Als erstes realisieren wir gemittelte hyperbolische, parabolische und elliptische Eisensteinreihen als regularisierten Borcherdslift der Selbergschen Poincaré-Reihe in Signatur (2,1). Der Typ der Eisensteinreihe wird dabei einzig vom Vorzeichen des Index der Poincaré-Reihe bestimmt. Anschließend stellen wir eine bestimmte hyperbolische Kernfunktion als regularisierten Borcherdslift einer modifizierten Selbergschen Poincaré-Reihe in Signatur (2,2) dar. Unter Zuhilfenahme von bekannten Relationen zwischen der genannten Kernfunktion sowie hyperbolischen und elliptischen Eisensteinreihen erhalten wir dadurch Darstellungen dieser Eisensteinreihen in Termen des entsprechenden Borcherdslifts. Schlussendlich zeigen wir noch, dass sich eine einzelne elliptische Eisensteinreihe auch als regularisierter Borcherdslift einer neuen Maass-Selbergschen Poincaré-Reihe in Signatur (2,2) realisieren lässt. In den letzten beiden Kapiteln dieser Arbeit präsentieren wir schließlich eine detaillierte Untersuchung der meromorphen Fortsetzung der Selbergschen Poincaré-Reihe in Signatur (2,1). Indem wir diese Fortsetzung an einem speziellen harmonischen Punkt auswerten, können wir den linearen Term in der Laurententwicklung von gemittelten hyperbolischen, parabolischen und elliptischen Eisensteinreihen an diesem Punkt durch gewisse Borcherdsprodukte ausdrücken. Mithilfe dieser Methode lassen sich bekannte Kroneckersche Grenzformeln elliptischer Eisensteinreihen für höhere Stufen verallgemeinern, sowie neue Kroneckersche Grenzformeln hyperbolischer Eisensteinreihen zu unendlichen Geodäten beweisen.German
Place of Publication: Darmstadt
Classification DDC: 500 Naturwissenschaften und Mathematik > 510 Mathematik
Divisions: 04 Department of Mathematics > Algebra > Automorphic Forms, Number Theory, Algebraic Geometry
Date Deposited: 19 Nov 2018 12:33
Last Modified: 09 Jul 2020 02:23
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-81449
Referees: Bruinier, Prof. Dr. Jan H. and von Pippich, Prof. Dr. Anna-Maria
Refereed: 12 September 2018
URI: https://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/id/eprint/8144
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