Ambient Spline Approximation on Manifolds

Odathuparambil, Sonja (2016)
Ambient Spline Approximation on Manifolds.
Technische Universität Darmstadt
Ph.D. Thesis, Primary publication

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Item Type:

Ph.D. Thesis

Type of entry:

Primary publication

Title:

Ambient Spline Approximation on Manifolds

Language:

English

Referees:

Reif, Prof. Dr. Ulrich ; Davydov, Prof. Dr. Oleg

Date:

2016

Place of Publication:

Darmstadt

Date of oral examination:

13 July 2016

Abstract:

Approximation in $\R^d$ is already well studied while approximation on manifolds still leads to difficulties. The present thesis introduces three approximation methods on compact manifolds. The manifold is considered as a submanifold embedded in $\R^d$ and the problem is extended to some ambient domain of the submanifold.

The first method returns $C^k$-approximations, $k \in \N$, of given functions on smooth compact submanifolds. We prove that the method shows optimal approximation behaviour for submanifolds of codimension one. The second and the third method approximate solutions of linear intrinsic PDEs. After extending the problem to some domain around the submanifold boundary conditions are added. The problem is solved by using the Finite Element Method. Numerical test confirm the ideas of the methods.

Alternative Abstract:

Alternative Abstract

Language

Approximationsmethoden in $\R^d$ sind bereits gut untersucht. Auf Mannigfaltigkeiten jedoch bestehen Schwierigkeiten. Diese Arbeit liefert einen Ansatz, welcher Approximationsprobleme auf Mannigfaltigkeiten auf solche in $\R^d$ zurückführt. Dabei werden die Funktionswerte geeignet in den umgebenden Raum der Mannigfaltigkeit fortgesetzt.

Die erste Methode liefert $C^k$-Approximationen, $k \in \N$, zu Funktionen definiert auf kompakten Mannigfaltigkeiten. Wir zeigen, dass die Methode im Falle der Kodimension ein von optimaler Approximationsgüte ist. Die zweite und dritte Methode lösen PDGen auf Mannigfaltigkeiten. Dabei übersetzen wir die PDG in eine weitere PDG, welche auf dem umgebenden Raum der Mannigfaltigkeit mit Hilfe von Finiten Elementen gelöst wird. Die erhaltene Lösung stimmt auf der Mannigfaltigkeit mit der Lösung der ursprünglichen PDG übereinstimmt. Numerische Experimente bestätigen die Konvergenzeigenschaft der Methode.

German

Uncontrolled Keywords:

manifold, spline, approximation, PDE, finite elements

Alternative keywords: