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Semi-classical description of matter wave interferometers and hybrid quantum systems

Schneider, Mathias :
Semi-classical description of matter wave interferometers and hybrid quantum systems.
Technische Universität, Darmstadt
[Ph.D. Thesis], (2015)

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Item Type: Ph.D. Thesis
Title: Semi-classical description of matter wave interferometers and hybrid quantum systems
Language: English
Abstract:

This work considers the semi-classical description of two applications involving cold atoms. This is, on one hand, the behavior of a BOSE-EINSTEIN condensate in hybrid systems, i.e. in contact with a microscopic object (carbon nanotubes, fullerenes, etc.). On the other, the evolution of phase space distributions in matter wave interferometers utilizing ray tracing methods was discussed. For describing condensates in hybrid systems, one can map the GROSS-PITAEVSKII equation, a differential equation in the complex-valued macroscopic wave function, onto a system of two differential equations in density and phase. Neglecting quantum dispersion, one obtains a semiclassical description which is easily modified to incorporate interactions between condensate and microscopical object. In our model, these interactions comprise attractive forces (CASIMIR-POLDER forces) and loss of condensed atoms due to inelastic collisions at the surface of the object. Our model exhibited the excitation of sound waves that are triggered by the object’s rapid immersion, and spread across the condensate thereafter. Moreover, local particle loss leads to a shrinking of the bulk condensate. We showed that the total number of condensed particles is decreasing potentially in the beginning (large condensate, strong mean field interaction), while it decays exponentially in the long-time limit (small condensate, mean field inetraction negligible). For representing the physics of matter wave interferometers in phase space, we utilized the WIGNER function. In semi-classical approximation, which again consists in ignoring the quantum dispersion, this representation is subject to the same equation of motion as classical phase space distributions, i.e. the LIOUVILLE equation. This implies that time evolution of theWIGNER function follows a phase space flow that consists of classical trajectories (classical transport). This means, for calculating a time-evolved distribution, one has know the initial distribution and one has to solve the classical equations of motion. Concerning the initial distribution, we have studied a stationary solution of the nonlinear LIOUVILLE equation, the LAMBERT density. We saw that it agrees very well with results from singleparticle quantum mechanics as well as the MAXWELL-BOLTZMANN distribution in the weakly interacting limit. Likewise, in the strongly interacting limit, familiar results of the THOMAS-FERMI approximation are recovered. A distribution that is first prepared in a trap and then released can be described quite conveniently in terms of WIGNER functions. However, propagation in optical potentials associated to the interferometer elements (beam splitter, Pi-half-pulse) do not satisfy the condition of the semiclassical approximation. Nevertheless, one finds discrete before-after mappings that describe the effect of these elements on incident distributions. This leads to several channels of phase space propagation which relate to the interferometer paths and interferences between them. The formalism for WIGNER functions in an interferometer can be translated straightforwardly into a ray tracing algorithm. As mentioned above, this algorithm solves the classical equations of motion and computes time-evolved distributions, using values of the initial distribution. This procedure, in contrast to most analytical solutions, does not require the HAMILTON function to be quadratic (e.g. free propagation, const. acceleration, harmonic oscillator). We compared simulation results to analytic expressions in case of freely propagating GAUSS distribution. They showed perfect agreement, especially for the functional dependence of wave length and contrast of interference fringes on the laser pulse timings.

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit semiklassischen Beschreibungen zweier Anwendungen von kalten Atomen. Dabei handelt es sich zum einen um das Verhalten von BOSE-EINSTEIN Kondensaten in hybriden Systemen, d.h. im Kontakt mit anderen mikroskopischen Objekten (Karbon-Nanoröhrchen, Fullerene etc.). Zum anderen wurde die Evolution von Phasenraum-Verteilungen in Materiewellen-Interferometern mit Hilfe von Raytracing-Methoden untersucht. Zur Beschreibung von Kondensaten in hybriden Systemen, kann die GROSS-PITAEVSKIIGleichung, eine Differentialgleichung in der koplexwertigen makroskopischen Wellenfunktion, abgebildet werden auf ein System von zwei Differentialgleichungen in Dichte und Phase. Unter Vernachlässigung der Quantendispersion, erhält man eine semiklassische Beschreibung, die sich sehr einfach modifizieren lässt, um die Wechselwirkung von Kondensat und mikroskopischem Objekt zu berücksichtigen. Diese Wechselwirkung umfasst in unserem Modell attraktive Kräfte (CASIMIR-POLDER-Kräfte) und Verlust kondensierter Atome durch inelastische Stöße an der Oberfläche des mikroskopischen Objekts. Unser Modell zeigte die Anregung von Schallwellen, welche nach dem plötzlichen Eintauchen des Objekts entstehen und sich anschließend über das gesamte Kondensat ausbreiten. Weiterhin führt lokaler Teilchenverlust dazu, dass das Kondensat insgesamt schrupft. Es zeigte sich, dass die Gesamtzahl kondensierter Atome zu Beginn (großes Kondensat, starke Selbst-Wechelwirung) potentiell abnimmt, während sie im Langzeit- Limes (kleines Kondensat, Selbst-Wechelwirkung vernachlässigbar) exponentiell sinkt. Um die Physik von Materiewellen-Interferometern im Phasenraum darzustellen, benutzten wir die WIGNER-Funktion. In der semiklassischen Näherung, die auch hier wieder in der Vernachlässigung der Quantendispersion besteht, folgt diese der gleichen Bewegungsgleichung wie klassische Phasenraumverteilungen, nämlich der LIOUVILLE-Gleichung. Dies impliziert, dass die Zeitentwicklung vonWIGNER-Funktionen dem Phasenraum-Fluss folgt, der durch die klassischen Trajektorien gegeben ist (klassischer Transport). Das heißt um eine Zeit-entwickelte Verteilung zu bestimmen muss man erstens die Anfangsverteilung kennen und zweitens klassische Bewegungsgleichungen lösen. Bezüglich der Anfangsverteilung haben wir eine stationäre Lösung der nichtlinearen LIOUVILLE-Gleichung, die sog. LAMBERT-Dichte, untersucht. Es zeigte sich, dass diese sehr gut mit Ergebnissen der Einteilchen-Quantenmechanik, sowie der MAXWELL-BOLTZMANN-Verteilung im schwach wechselwirkenden Grenzfall übereinstimmt. Auch im stark wechselwirkenden Grenzfall konnten die bekannten Ergebnisse der THOMAS-FERMI-Näherung reproduziert werden. Eine Verteilung, die erst in einer Atomfalle präpariert und anschließend freigelassen wird, lässt sich zwar sehr gut mit WIGNER-Funktionen im Rahmen von klassischem Transport beschreiben. Die Propagation in den optischen Potentialen der Interferometer-Elemente (Strahlteiler-Puls, Pi-halbe-Puls) erfüllen jedoch nicht die Voraussetzung der semiklassischen Näherung. Nichtsdestotrotz findet man diskrete vorher-nachher-Abbildungen, welche die Wirkung dieser Elemente auf WIGNER-Funktionen beschreiben. Dies führt dazu, dass man mehrere Kanäle der Phasenraum-Propagation betrachten muss. Jene beziehen sich auf die verschiedenen Interferometer-Pfade und Interferenzen zwischen ihnen. Der Formalismus für WIGNER-Funktionen im Interferometer lässt sich nun in einen Raytracing-Algorithmus übersetzen. Dieser löst, wie oben angedeutet, die klassischen Bewegungsgleichungen und konstruiert mit Hilfe der bekannten Anfangsverteilung eine Zeit-entwickelte Verteilung. Er ist dabei nicht auf eine quadratische HAMILTON-Funktion (z.b. freie Propagation, konst. Beschleunigung, harmonischer Oszillator) angewiesen, welche in den meisten Fällen Voraussetzung für analytische Lösungen ist. Wir haben Simulationsergebnisse mit analytischen Resultaten im Fall von frei propagierenden GAUSS-Verteilungen verglichen. Dabei zeigte sich speziell für die funktionale Abhängigkeit von Wellenlänge und Kontrast der Interferenzmuster zu zeitlichen Abständen der Laser-Pulse perfekte Übereinstimmung von Simulation und Theorie.German
Place of Publication: Darmstadt
Classification DDC: 500 Naturwissenschaften und Mathematik > 530 Physik
Divisions: 05 Department of Physics > Institute of Applied Physics
Date Deposited: 16 Mar 2015 15:31
Last Modified: 16 Mar 2015 15:31
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-44294
Referees: Walser, Prof. Dr. Reinhold and Alber, Prof. Dr. Gernot
Refereed: 16 February 2015
URI: http://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/id/eprint/4429
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