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A boundary conformal Discontinuous Galerkin method for electromagnetic field problems on Cartesian grids

Fröhlcke, Annette :
A boundary conformal Discontinuous Galerkin method for electromagnetic field problems on Cartesian grids.
Technische Universität, Darmstadt
[Ph.D. Thesis], (2013)

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Item Type: Ph.D. Thesis
Title: A boundary conformal Discontinuous Galerkin method for electromagnetic field problems on Cartesian grids
Language: English
Abstract:

The thesis presents a novel numerical method based on the high order Discontinuous Galerkin (DG) method for three dimensional electrostatic and electro-quasistatic field problems where materials are of very complex shape and may move over time. A well-known example is water droplets oscillating on the surface of high voltage power transmission line insulators. The electric field at the surface of the insulator causes the oscillation of the water droplets. The oscillation, in turn, triggers partial discharges which have damaging effects on the polymer insulation layers of high voltage insulators.

The simulation of such phenomena is highly complex from an electromagnetic point of view. Most numerical methods which are applied to such field problems use conforming meshes where the elements are fitted exactly to the material geometry. This implies that the element interfaces conform to the material boundaries or material interfaces. In general, the generation of conforming meshes is computationally expensive. Furthermore, when dealing with materials that move over time, conforming meshes need to be adapted to the changing material geometry at each point in time.

To avoid the often computationally costly generation and adaption step of conforming meshes, the numerical method proposed in this thesis operates on a single fixed structured Cartesian mesh. First, field problems with non-moving materials are considered. To obtain accurate simulation results on field problems with complex-shaped materials, an additional approach, namely the cut-cell discretization approach, is applied. The cut-cell discretization approach subdivides the elements at material boundaries or interfaces into smaller sub-elements which are referred to as cut-cells. The approach is embedded into the Discontinuous Galerkin (DG) method for standard Cartesian meshes since the DG method allows for high order approximations and offers a great flexibility for additional approaches. Since the mesh is not fitted to the material geometry, geometrically small cut-cells might emerge. Therefore, two supplementary approaches, the adaptive approximation order method and the cell merging method are proposed which enable an accurate approximation even on geometrically small cut-cells. Furthermore, a DG hybridization is presented which lowers the number of degrees of freedom in domains where the high number of DG degrees of freedom is not necessary to obtain accurate results. The numerical method comprising all above mentioned approaches is labelled as boundary conformal DG (BCDG) method.

In a second step, the BCDG method is extended to field problems where materials move over time. We refer to this approach as extension of the BCDG (EBCDG) method. The EBCDG method adapts to the moving materials by recalculating only the cut-cells at each point in time while the underlying Cartesian grid is kept fixed. Therefore, no computationally expensive mesh adaption or mesh generation steps are needed.

The BCDG and the EBCDG method are applied to numerical examples of electrostatic (ES) and electro-quasistatic (EQS) field problems. First, numerical results of the BCDG method on a verification example of a cylindrical capacitor filled with two dielectric layers are shown. A convergence study and a comparison study illustrate the high accuracy of the BCDG method with respect to the number of degrees of freedom. Finally, the EBCDG method is applied to an example of a water droplet oscillating artificially on the insulation layer of a high voltage insulator. A convergence study demonstrates that even on a coarse mesh a high resolution of the potential and electric field solution can be achieved.

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage
In dieser Arbeit wird eine neue numerische Methode vorgestellt, die auf der Discontinuous Galerkin (DG) Methode basiert und für dreidimensionale elektrostatische und elektro-quasistatische Feldprobleme mit komplex geformten Materialgeometrien entwickelt wurde. Insbesondere können mit dieser Methode bewegte Materialränder behandelt werden. Ein bekanntes Anwendungsbeispiel ist die Simulation singulärer Wassertropfen auf Hochspannungsisolatoren, die sich durch Niederschlag oder Kondensation auf den polymeren Isolierstoffoberflächen der Hochspannungsisolatoren sammeln. Diese singulären Tropfen werden aufgrund des anliegenden elektrischen Feldes zu Oszillationen angeregt. Die oszillierende Wirkung des elektrischen Feldes auf die Wassertropfen bewirkt wiederum, dass Teil- bzw. Mikroentladungen auftreten, die die Isolierstoffoberfläche schädigen. Die numerische Simulation der Tropfenbewegung auf Hochspannungsisolatoren ist sehr komplex. Die meisten Simulationsverfahren für diese Art von Feldproblemen verwenden Rechengitter, deren Elementränder exakt mit den Materialrändern übereinstimmen. Allerdings sind diese Gitter im Vergleich zu strukturierten Gittern oft nur mit einem erheblich höheren Zeitaufwand zu generieren. Zudem müssen diese Gitter bei Simulationen mit bewegten Materialrändern in jedem Zeitschritt an die bewegte Materialgeometrie angepasst werden. Die numerische Methode, die in dieser Arbeit vorgestellt wird, vermeidet den zeitaufwendigen Gittergenerierungs- bzw. Gitteranpassungsschritt, indem ein vorgegebenes strukturiertes kartesisches Gitter verwendet wird. Um auf kartesischen Gittern eine ausreichende Genauigkeit für Feldprobleme mit komplex geformten Materialgeometrien erhalten zu können, wird eine Methode eingeführt, die die Materialränder in der Diskretisierung exakt berücksichtigt. Diese sogenannte Cut-Cell Diskretisierungsmethode schneidet die Elemente an den Materialrändern in Unterelemente, die sogenannten Cut-Cells. Die Cut-Cell Diskretisierungsmethode wird in die DG Methode eingebettet, weil diese eine Verwendung hoher Approximationsordnungen ermöglicht. Da die DG Methode aufgrund ihrer methodischen Struktur eine große Flexibilität für zusätzliche Methoden bietet, ist die Einbettung auf natürliche Weise möglich. Da das kartesische Gitter nicht mit den Materialrändern übereinstimmt, können beim Schneiden der Elemente geometrisch sehr kleine Cut-Cells entstehen, die die Konditionszahl der Problemstellung verschlechtern. Aus diesem Grund werden in dieser Arbeit zwei weitere Methoden vorgestellt, die Adaptive Approximation Order Methode und die Cell Merging Methode, die es ermöglichen, selbst bei sehr kleinen Cut-Cells genaue Simulationsergebnisse zu erzielen. Zudem wird eine DG Hybridisierungsmethode eingeführt, die die Freiheitsgrade des Verfahrens in bestimmten Gebieten herabsetzt, ohne zu einem Genauigkeitsverlust zu führen. Die Methode, bestehend aus allen oben aufgelisteten Verfahren, wird als Boundary Conformal DG Methode bzw. BCDG Methode bezeichnet. Eine Erweiterung der BCDG Methode auf bewegte Materialien, die EBCDG Methode, wird im zweiten Teil der Arbeit vorgestellt. Die bewegten Materialränder werden in dieser Methode durch eine wiederholte Neuberechnung der Cut-Cells zu jedem Zeitschritt berücksichtigt. Eine zeitaufwendige erneute Gittergenerierung oder eine Gitteradaption ist daher bei dieser Methode nicht notwendig. Im letzen Abschnitt dieser Arbeit werden die numerischen Simulationergebnisse der BCDG und der EBCDG Methode für verschiedene elektrostatische und elektroquasistatische Feldprobleme vorgestellt. Eine Konvergenzanalyse und eine Vergleichsanalyse für das Verifikationsbeispiel eines Zylinderkondensators mit zwei dielektrischen Materialen zeigen die hohe Genauigkeit der BCDG Methode auf. Abschließend werden die Simulationsergebnisse für das Anwendungsbeispiel eines Wassertropfens auf einer Isolierstoffoberfläche vorgestellt, bei der eine künstliche Tropfenbewegung betrachtet wird. Die Simulationsergebnisse belegen, dass mit der EBCDG Methode selbst auf Gittern mit wenig Elementen eine sehr hohe Auflösung des elektrischen Feldes und des Potentials erzielt werden kann. German
Place of Publication: Darmstadt
Uncontrolled Keywords: Discontinuous Galerkin, cut-cell approach, DG,
Classification DDC: 600 Technik, Medizin, angewandte Wissenschaften > 620 Ingenieurwissenschaften
Divisions: 18 Department of Electrical Engineering and Information Technology
18 Department of Electrical Engineering and Information Technology > Institute for Computational Electromagnetics
Date Deposited: 22 Nov 2013 14:03
Last Modified: 22 Nov 2013 14:03
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-36636
Referees: Weiland, Prof. Dr. Thomas and Schäfer, Prof. Dr. Michael
Refereed: 16 September 2013
URI: http://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/id/eprint/3663
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