# Numerical simulation of deformation of a droplet in a stationary electric field using DG

### Emamy, Nehzat (2014):Numerical simulation of deformation of a droplet in a stationary electric field using DG.Darmstadt, Technische Universität, [Ph.D. Thesis]

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Item Type: Ph.D. Thesis
Title: Numerical simulation of deformation of a droplet in a stationary electric field using DG
Language: English
Abstract:

Numerical simulation of deformation of a droplet in a stationary electric field is performed in the present research. The droplet is suspended in another immiscible fluid with the same density and viscosity but a different dielectric property (permittivity). By applying the electric field, the fluids are polarized that gives rise to mechanical forces and deformation. A two-way coupling occurs because of the forces exerted from the electric field on the droplet and the deformation of the droplet which changes the geometry for the electric field calculations. The droplet continues to deform until a force balance between the electric force, pressure and the surface tension is achieved and the droplet becomes a spheroid. An electromechanical approach is adopted to solve the above mentioned problem, which includes solving the governing equations of both the electric and fluid fields, computing the coupling forces and capturing the movement of the interface of the droplet and the surrounding fluid. A one-fluid approach is followed, which enables us to solve one set of the governing equations for both the droplet and the surrounding fluid. The interface is represented as the zero iso-value of a level set function and an advection equation is solved to find the movement of the interface. A diffuse interface model is used to regularize the jump in the fluid and electric properties. The governing equations of the electric and fluid fields and the level set advection equation are discretized using the Discontinuous Galerkin Finite Element method (DG) in the BoSSS code for solving conservation laws. The electric field is computed from the electric potential by considering the electrostatic equations. To find the electric potential, a Laplace equation is solved which has a jump in the permittivity at the interface. The Laplace equation is discretized using the interior penalty method (IP) which we modified for the case of high jumps in the permittivity. Assuming that the fluids are linear dielectric materials, the electric force is the dielectrophoretic force which is computed from the Kortweg-Helmholtz formula. This force is added as a body force to the incompressible Navier-Stokes equations, which are the governing equations for the fluid flow. Considering that there is no jump in the fluid properties, a single phase solver of the Navier-Stokes equations including the surface tension at the interface is developed. The surface tension force is added as a body force to the Navier-Stokes equations using the continuum surface force model (CSF). This model is known for producing a spurious velocity field. To decrease the spurious velocities, the surface tension term is calculated by using high degree polynomials for a precise calculation of the normal vector and curvature. To solve the incompressible Navier-Stokes equations using the DG method, a projection scheme with a consistent Neumann pressure boundary condition is employed and the same polynomial order for the velocity and pressure (equal-order method) is applied. Using the above-mentioned pressure boundary condition leads to an optimal convergence rate of k + 1 in the L2-norm for the pressure, which is not reported from other DG solvers. However, using the DG method, we have observed that discontinuities in the solutions at the cell boundaries can affect the solution accuracy and even cause a numerical instability. These accuracy and stability issues occur when the derivatives of the solution are computed. Therefore a flux-based method for calculation of the derivatives of the flow variables was adopted. As the results showed considerably improved accuracy and stability characteristics, we used the proposed method also in solving the above mentioned coupled problem.

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage
In der aktuellen Arbeit wird eine numerische Simulation der Deformation eines Tröpfchens in einem stationären lektrischen Feld durchgeführt. Das Tröpfchen ist in einem nicht vermischbaren Fluid mit gleicher Dichte und Viskosität aber abweichender dielektrischer Eigenschaft (Dielektrizitätskonstante) eingebettet. Durch Anlegen eines elektrischen Feldes werden beide Fluide polarisiert, was zu einer mechanischen Kraft und Deformation führt. Wegen der Kraft, die das elektrische Feld auf das Tröpfchen ausübt, und der entstehenden Deformation des Tröpfchens, welche zu einer Veränderung der Geometrie in der Berechnung des elektrischen Feldes führt, tritt eine Zwei-Wege-Kopplung auf. Das Tröpfchen verformt sich, bis ein Gleichgewicht zwischen den Kräften aus elektrischem Feld, Druck und Oberflächenspannung auftritt und das Tröpfchen ein Sphäroid wird. Es wird ein elektromechanischer Ansatz zur Lösung des oben genannten Problems, welches aus der Lösung der beschreibenden Gleichungen des elektrischen und des Strömungsfeldes, der Berechnung der Kopplungskräfte und der Bestimmung der Bewegung des Interface zwischen dem Tröpfchens und dem umgebenden Fluids besteht, verwendet. Ein Ein-Fluid-Ansatz wird betrachtet, welcher uns ermöglicht nur einen Satz an bestimmenden Gleichungen für das Tröpfchen und das umgebende Fluid zusammen lösen zu müssen. Das Interface wird durch die Null-Isolinie einer "level set" Funktion repräsentiert und eine Advektionsgleichung zur Bestimmung der Bewegung des Interface wird gelöst. Um den Sprung in den Eigenschaften des Fluids und des elektrischen Felds zu regularisieren wird ein Modell mit unscharfem Interface verwendet. Die bestimmenden Gleichungen des elektrischen und des Strömungsfeldes und die "level set" Advektionsgleichung werden unter Verwendung der diskontinuierlichen Galerkin Finite Elemente Methode (DG) im BoSSS Code diskretisiert. Das elektrische Feld wird aus dem elektrischen Potential unter Verwendung der Gleichungen der Elektrostatik berechnet. Um das elektrische Potential zu bestimmen wird eine Poisson Gleichung gelöst, welche einen Sprung in der Dielektrizitätskonstanten am Interface aufweist. Die Poisson Gleichung wird mit der "interior penalty method" (IP), welche wir für den Fall hoher Sprünge in der Dielektrizitätskonstanten modifiziert haben, diskretisiert. Unter der Annahme, dass die Fluide linear dielektrische Materialien sind, ist die elektrische Kraft die dielektrophoretische Kraft, welche von aus der Kortweg-Helmholtz-Gleichung berechnet wird. Diese Kraft wird als Volumenkraft in die inkompressiblen Navier-StokesGleichungen eingefügt, welche die beschreibenden Gleichungen der Fluidströmung sind. Auf Grund der Tatsache, dass kein Sprung in den Fluideigenschaften auftritt, wird ein einphasiger Löser für die Navier-Stokes-Gleichungen mit Oberflächenspannung am Interface entwickelt. Die Kraft, welche aus der Oberflächenspannung resultiert, wird als Volumenkraft zu den Navier-Stokes-Gleichungen unter Verwendung des "continuum surface force"-Modell (CSF) hinzugefügt. Dieses Modell ist dafür bekannt Störungen im Geschwindigkeitsfeld zu produzieren. Um diese Störungen zu reduzieren wird der Oberflächenspannungsterm mit Polynomen hoher Ordnung berechnet, womit der Normalenvektor und die Krümmung präzise bestimmt werden können. Um die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen mit der DG Methode zu lösen wird ein Projektionsschema mit einer konsistenten Neumann-Druck-Randbedingung eingesetzt und die gleiche polynomiale Ordnung für die Geschwindigkeit und den Druck ("equal-order method") angewendet. Die Anwendung der oben genannten Druck-Randbedingungen führen zu einer optimalen Konvergenzrate von k + 1 in der L2-Norm für den Druck, was für andere DG-Löser nicht berichtet wird. Allerdings haben wir bei der Anwendung der DG-Methode beobachtet, dass Diskontinuitäten in der Lösung an den Zellengrenzen die Lösungsgenauigkeit beeinträchtigen und sogar numerische Instabilitäten auslösen. Diese Genauigkeits- und Stabilitätsprbleme treten bei der Berechnung der Ableitungen der Lösung auf. Daher wurde eine Fluss-basierte Methode zur Berechnung der Ableitungen eingeführt. Da die Ergebnisse deutlich verbesserte Genauigkeitsund Stabilitätscharakteristiken aufwiesen, haben wir die vorgeschlagene Methode auch bei der Lösung des oben genannten Kopplungsproblems verwendet.German