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Constant Mean Curvature Surfaces bifurcating from Nodoids

He, Yong :
Constant Mean Curvature Surfaces bifurcating from Nodoids.
TU Darmstadt / FB Mathematik
[Ph.D. Thesis], (2012)

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Item Type: Ph.D. Thesis
Title: Constant Mean Curvature Surfaces bifurcating from Nodoids
Language: English
Abstract:

In this work we construct families of CMC (Constant Mean Curvature) surfaces which bifurcate from certain well-known rotational surfaces. The elementary principle of construction in doing so is the Lawson's correspondence which establishes a 1 to 1 relation between simply connected minimal surfaces in one space form of curvature K and the isometric CMC surfaces with mean curvature c in another space form with curvature K-c^2. Two different cases are discussed in this work. In the first case we construct new CMC surfaces, which bifurcate from the immersed rotational CMC surfaces in the 3-dimensional Euclidean space, namely the nodoids. Mazzeo und Pacard have showed a local (i.e. near nodoids) existence of such surfaces. In this work we shall use conjugate surfaces method to construct the complete family of bifurcating CMC surfaces to the point of degeneration. In the second case we shall construct a 1-parameter family of single periodic minimal surfaces which bifurcating from the helicoid. According to its scope the work was divided into two parts. In part 1 we introduce the boundary arcs (geodesic quadrilateral) of the fundamental patch in the 3-sphere. The Plateauproblems to the new quadrilaterals are solvable. To guarantee the regularity of the Plateau solution in extending by the Schwarz reflection across its geodesic boundary arcs we use the covering solid cylinder of the solid Clifford torus and hemi-sphere as barriers. We generalize the argument of Rado for the 3-sphere and with that we show that the Plateau solution is a Graph over the 2-sphere in a Hopf fibration. It follows a uniqueness result for the Plateau solution and the continuity of the bifurcation family. The new singly periodic CMC surfaces are immersed 2-sphere with two punctures and has discrete symmetry. In part 2 we shall apply the conjugate surfaces method for hyperbolic CMC-1 surfaces to construct family of bifurcating minimal surfaces from helicoid in Euclidean space. The key issue here is the solution of Plateau problems for non-compact boundary curves. The deformation parameter is the surface normal at infinity. By a exhaustion process using compact minimal surfaces we get the existence of a non-compact minimal surface. A standard curvature estimate for minimal surface equation yields the desired asymptotic property of the normal vector. The new minimal surfaces are singly periodic and constitute a 1-parameter family.

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage
In der vorliegenden Arbeit werden Familien von Flächen konstanter mittleren Krümmung (kuz: CMC-Fläche, CMC für Constant Mean Curvature) konstruiert, die von gewissen wohlbekannten Rotationsflächen abzweigen. Das grundlegende Konstruktionsprinzip dabei ist die Lawson-Korrespondenz, welche eine eindeutige Beziehung zwischen einfach zusammenhängenden Minimalflächen in einer Raumform der Krümmung K und dazu isometrischen CMC Flächen der konstanten mittleren Krümmung c in einer Raumform der Krümmung K-c^2 herstellt. Zwei verschiedene Fälle sollten in der Arbeit behandelt werden. In einem Fall geht es um neue CMC-Flächen, die von den immersierten Rotationsflächen konstanter mittleren Krümmung im dreidimensionalen euklidischen Raum, also Nodoiden, abzweigen. Mazzeo und Pacard haben die lokale (d.h. nah an den Nodoiden) Existenz derartiger Flächen gezeigt. Das Ziel in der vorliegenden Arbeit war, mit Konjugiertenmethoden die kompletten Familien bis hin zur Degeneration zu konstruieren. In dem anderen Fall geht es um eine 1-Parameter Familie von einfach-periodischen Minimalflächen, die vom Helikoid abzweigen. Entsprechend der Aufgabenstellung gliedert sich die Arbeit in zwei Teile. Im Teil 1 führen wir die Randkonturen (geodätische Vierecke) des Fundamentalstücks der zu konstruierenden Fläche in der 3-Sphäre ein. Das Plateauproblem lässt sich für die neuen geodätischen Vierecke lösen. Man benutzt die Überlagerungszylinder des soliden Clifford-Torus und Hemisphäre als Barrieren um die Regularität der Flächen beim Fortsetzen durch Spieglungen zu gewährleisten. Wir verallgemeinern das Rado-Argument für die 3-Sphäre und somit lässt die Plateaulösung als Graph über die 2-Sphäre bezüglich einer Hopf-Faserung. Daraus folgt ein Eindeutigkeitssatz für die Plateaulösung und die Stetigkeit der Abzweigungsfamilie. Die neuen einfach periodischen CMC-Flächen sind immersierte 2-Sphäre mit zwei herausgenommen Punkten und besitzen diskrete Symmetrie. Im Teil 2 verwenden wir die Konjugiertenmethode für den Fall hyperbolischer Flächen mit konstanter mittleren Krümmung 1, um Abzweigungsminimalflächen vom Helikoid in euklidischen Raum zu konstruieren. Der entscheidende Punkt hier ist die Lösung eines Plateauproblems für eine nichtkompakte Randkurve. Der Deformationsparameter ist die Flächennormale im Unendlichen. Die nichtkompakten Minimalflächen gewinnen wir durch Approximation mit kompakten Minimalflächen. Die gewünschte Asymptotik der Flächen ergibt sich aus Krümmungsabschätzungen für die Minimalflächengleichung. Die neuen Minimalflächen sind einfach periodisch und bilden eine 1-Parameter Familie.German
Classification DDC: 500 Naturwissenschaften und Mathematik > 510 Mathematik
Divisions: Fachbereich Mathematik > Geometrie und Approximation
Date Deposited: 31 Jan 2012 10:51
Last Modified: 07 Dec 2012 12:04
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-28801
License: Creative Commons: Attribution-Noncommercial-No Derivative Works 3.0
Referees: Große-Brauckmann, Prof. Dr. Karsten and Tomi, Prof. Dr. Friedrich
Refereed: 9 February 2010
URI: http://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/id/eprint/2880
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