Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Stabilitätstheorie von Strömungen. Zentraler Gegenstand ist die Fragestellung, unter welchen Umständen eine Strömung instabil wird. Instabilitäten sind ein häufiger Auslöser laminar-turbulenter Transitionen. Die Stabilitätstheorie hilft ferner die Entstehung von Strukturen, z.B. wellenartigen Störungsmustern, zu erklären. Die Verwendung von Lie-Symmetrien erlaubt dabei die Klassifizierung bestehender und die Konstruktion neuer Lösungsansätze im Rahmen der linearen Stabilitätstheorie. Zudem wird ein neues nichtlineares Eigenwertproblem (englisch: nonlinear eigenvalue problem, kurz: NEVP) vorgestellt, dessen Herleitung vollständig auf Lie-Symmetrien basiert. In der klassischen linearen Stabilitätstheorie werden Störungen in Form von Normal-Moden als Ansatz verwendet. Ein weiterer Ansatz, der bereits in frühen Arbeiten gezeigt wurde, ist der Kelvin-Moden-Ansatz. In der Arbeit von Nold und Oberlack (2013) und Nold et al. (2015) konnte gezeigt werden, dass sich diese Ansätze auf die Lie-Symmetrien der linearisierten Störungsgleichungen zurückführen lassen. Interessanterweise erlaubt die Kenntnis der Symmetrien zudem die Konstruktion neuer Ansatzfunktionen, die über die bekannten Ansätze hinausgehen. Für eine ebene rotationssymmetrische Strömung mit Geschwindigkeitsprofil in Umfangsrichtung kann neben dem Normal-Moden-Ansatz ein weiterer Ansatz mit einem algebraischen Verhalten in der Zeit t^s (Eigenwert s) konstruiert werden. Die Strömung ist dabei stabil gemäß dem Wendepunktkriterium von Rayleigh, was auch durch den algebraischen Ansatz bestätigt wird. Weiterhin können exakte Lösungen der Eigenfunktionen gefunden werden. Mit Hilfe asymptotischer Methoden lassen sich zudem neue stabile Moden bestimmen. Dabei sind spiralartige Strukturen der Wirbelstärke zu erkennen, die sich mit der Zeit im Gebiet ausbreiten. Ein weiteres zentrales Ergebnis dieser Arbeit ist die Formulierung und Lösung eines NEVP basierend auf den Lie-Symmetrien der Euler-Gleichung. Es kann gezeigt werden, dass für eine Reihe von Grundströmungen mit einem konstanten Geschwindigkeitsgradienten ein NEVP formuliert werden kann. Dazu zählen beispielsweise lineare Scherströmungen, Strömungen unter Kontraktion und Expansion oder rotierende Strömungen. Das NEVP für lineare Scherströmungen zeigt dabei einen Bezug zu experimentellen Daten aus turbulenten Scherströmungen. Es kann theoretisch gezeigt werden, dass die turbulente kinetische Energie exponentiell mit dem Eigenwert des NEVP skaliert. Der Eigenwert wird numerisch mit Hilfe eines parallelen Spektrallösers bestimmt. Dabei werden zunächst nichtlineare Terme vernachlässigt. Die ermittelten Eigenwerte liegen im Bereich von Literaturwerten turbulenter Scherströmungen. Außerdem werden NEVP für ebene rotierende und ebene gestreckte Strömungen gelöst. Dabei zeigt sich, dass die Strömung invariant gegenüber ebener Rotation ist, während im Fall ebener Streckung oszillierende Eigenfunktionen gefunden werden. Abschließend werden nichtlineare Terme berücksichtigt und diesbezüglich ein Lösungsalgorithmus entwickelt. Zusammenfassend erlauben die Ergebnisse einen spannenden Einblick in eine neue Stabilitätstheorie und bilden die Basis für weitere Untersuchung und das Verständnis der vollständigen nichtlinearen Dynamik von Strömungen auf Basis des NEVP.