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Persistence problems for fractional processes

Kilian, Martin Alexander Dennis (2023)
Persistence problems for fractional processes.
Technische Universität Darmstadt
doi: 10.26083/tuprints-00022949
Ph.D. Thesis, Primary publication, Publisher's Version

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Item Type: Ph.D. Thesis
Type of entry: Primary publication
Title: Persistence problems for fractional processes
Language: English
Referees: Aurzada, Prof. Dr. Frank ; Pène, Prof. Françoise
Date: 2023
Place of Publication: Darmstadt
Collation: x, 82 Seiten
Date of oral examination: 25 November 2022
DOI: 10.26083/tuprints-00022949
Abstract:

In this thesis, we deal with several persistence problems for fractional processes. Persistence concerns the event that a stochastic process has a long excursion staying below or above a certain barrier. A central question in this context is the analysis of the probability of this event - the so-called persistence probability.

We first consider the persistence probabilities of integrated fractional Brownian motion and fractionally integrated Brownian motion. While it is well-known that these persistence probabilities decay asymptotically polynomially, their polynomial rates are unknown except for the special cases of Brownian motion and integrated Brownian motion. We show that for both processes, the polynomial rate is a continuous function in the Hurst parameter and determine its asymptotic behaviour at the boundaries of the respective parameter domain.

Subsequently, we study persistence probabilities of mixed processes, such as mixed fractional Brownian motion. Precisely, we consider the sum of two self-similar centred Gaussian processes with different self-similarity indices and show that, under non-negativity assumptions of covariance functions and some further minor conditions, the persistence probability of the sum decays asymptotically polynomially with the same polynomial rate as for the single process with the greater self-similarity index. In particular, this determines the polynomial rate of the persistence probability of mixed fractional Brownian motion.

Lastly, we give estimates for the persistence probabilities of further fractional processes of interest, namely the bifractional Brownian motion and the fractional Ornstein-Uhlenbeck process.

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage

In dieser Dissertation befassen wir uns mit verschiedenen Persistence-Problemen für fraktionale Prozesse. Mit Persistence ist das Ereignis einer langen Exkursion eines stochastischen Prozesses gemeint, bei der dieser unter- oder oberhalb einer bestimmten Schranke bleibt. Eine zentrale Fragestellung in diesem Kontext ist die Analyse der Wahrscheinlichkeit jenes Ereignisses - die sogenannte Persistence-Wahrscheinlichkeit.

Zunächst betrachten wir die Persistence-Wahrscheinlichkeiten der integrierten fraktionalen Brownschen Bewegung sowie der fraktional integrierten Brownschen Bewegung. Während es wohlbekannt ist, dass diese Persistence-Wahrscheinlichkeiten asymptotisch polynomiell abfallen, ist die polynomielle Rate nur in den Spezialfällen der Brownschen Bewegung und der integrierten Brownschen Bewegung bekannt. Wir zeigen, dass bei beiden Prozessen die polynomielle Rate eine stetige Funktion vom Hurst-Parameter ist, und bestimmen ihr asymptotisches Verhalten an den Rändern des jeweiligen Definitionsbereiches des Parameters.

Anschließend beschäftigen wir uns mit den Persistence-Wahrscheinlichkeiten von gemischten Prozessen wie der gemischten fraktionalen Brownschen Bewegung. Um genau zu sein, betrachten wir die Summe zweier selbstähnlicher zentrierter Gaußprozesse mit unterschiedlichen Selbstähnlichkeitsindizes und zeigen, dass, unter der Annahme von nicht-negativen Kovarianzfunktionen und einiger weiterer unwesentlicher Bedingungen, die Persistence-Wahrscheinlichkeit der Summe asymptotisch polynomiell abfällt, und zwar mit der gleichen polynomiellen Rate wie bei demjenigen Einzelprozess, der den größeren Selbstähnlichkeitsindex besitzt. Insbesondere wird damit die polynomielle Rate der Persistence-Wahrscheinlichkeit der gemischten fraktionalen Brownschen Bewegung bestimmt.

Abschließend geben wir noch Abschätzungen für die Persistence-Wahrscheinlichkeiten weiterer relevanter fraktionaler Prozesse, nämlich der bifraktionalen Brownschen Bewegung und des fraktionalen Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses.

German
Status: Publisher's Version
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-229490
Classification DDC: 500 Science and mathematics > 510 Mathematics
Divisions: 04 Department of Mathematics > Stochastik
Date Deposited: 06 Jan 2023 13:02
Last Modified: 09 Jan 2023 10:52
URI: https://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/id/eprint/22949
PPN: 50341204X
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