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Instability and acoustics of compressible exponential boundary layer flows

Zhang, Yi (2022)
Instability and acoustics of compressible exponential boundary layer flows.
Technische Universität Darmstadt
doi: 10.26083/tuprints-00021016
Ph.D. Thesis, Primary publication, Publisher's Version

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Item Type: Ph.D. Thesis
Type of entry: Primary publication
Title: Instability and acoustics of compressible exponential boundary layer flows
Language: English
Referees: Oberlack, Prof. Dr. Martin ; Sadiki, Prof. Dr. Amsini
Date: 2022
Place of Publication: Darmstadt
Collation: xxxi, 135 Seiten
Date of oral examination: 12 July 2022
DOI: 10.26083/tuprints-00021016
Abstract:

In this thesis, inviscid instability and acoustics of compressible exponential boundary layer flows are investigated. Based on the linearised Euler equations (LEEs) and the normal-mode approach, the acoustic wave equation of parallel shear flows, the generalised Pridmore-Brown equation (PBE), is derived. For a boundary layer flow mimicked by an exponential velocity profile, an exact solution to the corresponding PBE is given in terms of the confluent Heun function (CHF). In the stability analyses, the eigenvalue equation for the stability problem based on the exact solution to the PBE is derived, and temporal stability and spatial stability are investigated respectively. For this, asymptotic analyses of the eigenvalue equation are first performed, and analytical solutions for limiting cases are obtained. Then, solutions to the eigenvalue equation are computed, which allow a comprehensive picture of the stability behaviour of the exponential boundary layer. In particular, the first three acoustic modes are computed as a function of the Mach number, the streamwise wavenumber, and the frequency. Unstable modes are found, where the first acoustic mode is always the most unstable one of all acoustic modes. Besides, an acoustic boundary layer thickness (ABLT) is defined, which essentially quantifies how far eigenfunctions reach into the area afar from the boundary layer. Meanwhile, wave angles, which describe the direction of the phase velocity, and eigenfunctions of acoustic modes are displayed. In the end, links between eigenvalues in the temporal stability and spatial stability problems are established. In the study of acoustics of boundary layer flows, the exact solution to the PBE is again employed to derive the reflection coefficient as a function of the Mach number, the streamwise wavenumber, and the incident angle of acoustic waves, and it is computed in wide parameter ranges. It is shown that the over-reflection of acoustic waves arises in boundary layer flows, i.e. the reflected amplitude of acoustic waves is greater than that of incident waves. The phenomenon is validated to be closely related to the critical layer, at which there is an optimal energy exchange from the base flow through the critical layer into the acoustic wave. Meanwhile, a special acoustic phenomenon, the resonant over-reflection, is observed and proved to be caused by the resonant frequency of unstable modes in the temporal stability problem. In addition, the resonant over-reflection also appears at resonant frequencies caused by higher unstable modes, but their over-reflection coefficients are always smaller than that caused by the first unstable mode. In the last part of the present work, the over-reflection of acoustic waves in a supersonic inviscid compressible boundary layer flow is validated by direct numerical simulations (DNS). A wave packet containing plane waves with constant wavelengths and amplitudes is superimposed with the free stream, and the incidence and reflection processes of the wave packet are simulated. In the simulations, the dispersion of the wave packet is observed due to strong shear effects near the wall. Amplification of the amplitude of the reflected waves is determined when the reflected wave eventually returns to the free stream. In particular, there is an exceptionally large over-reflection coefficient when the frequency of the incident wave is close to the resonant frequency, which indicates an occurrence of the resonant over-reflection.

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage

In dieser Dissertation werden die reibungsfreie Instabilität und Akustik von kompressiblen exponentiellen Grenzschichtströmungen untersucht. Auf Grundlage der linearisierten Euler-Gleichungen (LEEs) und des Normal-Mode Ansatzes wird die akustische Wellengleichung für parallele Scherströmungen, die verallgemeinerte Pridmore-Brown-Gleichung (PBE), hergeleitet. Für eine Grenzschichtströmung, die durch ein exponentielles Geschwindigkeitsprofil modelliert wird, wird die exakte Lösung der entsprechenden PBE in Form der konfluenten Heun-Funktion (CHF) hergeleitet. Mittels einer Stabilitätsanalyse wird die Eigenwertgleichung für das Stabilitätsproblem auf Grundlage der exakten Lösung der PBE hergeleitet und die zeitliche und räumliche Stabilität untersucht. Zunächst werden asymptotische Analysen der Eigenwertgleichung durchgeführt und analytische Lösungen für die betrachteten Grenzfälle erhalten. Anschließend werden Lösungen der Eigenwertgleichung berechnet, die ein umfassendes Bild des Stabilitätsverhaltens der exponentiellen Grenzschicht ermöglichen. Insbesondere werden die ersten drei akustischen Moden als Funktion der Machzahl, der Wellenzahl und der Frequenz berechnet. Es werden instabile Moden gefunden, wobei die erste akustische Mode immer die instabilste aller akustischen Moden ist. Außerdem wird eine akustische Grenz-schichtdicke (ABLT) definiert, die im Wesentlichen quantifiziert, wie weit Eigenfunktionen in den Bereich fern der Grenzschicht reichen. Weiterhin werden ein Wellenwinkel, der die Richtung der Phasengeschwindigkeit beschreibt, sowie die Eigenfunktionen der akustischen Moden dargestellt. Schließlich werden Zusammenhänge zwischen den Eigenwerten der zeitlichen und der räumlichen Stabilitätsanalyse hergestellt. Zur Untersuchung der Akustik von Grenzschichtströmungen wird erneut die exakte Lösung des PBE genutzt, um den Reflexionskoeffizienten als Funktion von der Machzahl, der Wellenzahl und dem Einfallswinkel der akustischen Wellen abzuleiten und in weiten Parameterbereichen zu berechnen. Es wird gezeigt, dass eine Überreflexion akustischer Wellen in Grenzschichtströmungen auftreten kann, d. h. die Amplitude der reflektierten akustischen Wellen größer ist als die der einfallenden Wellen. Es wird nachgewiesen, dass dieses Phänomen eng mit der kritischen Schicht zusammenhängt, bei der ein optimaler Energieaustausch von der Grundströmung in die akustische Welle stattfindet. Gleichzeitig wird ein spezielles akustisches Phänomen, die resonante Überreflexion, beobachtet und nachgewiesen, dass dieses durch die Resonanzfrequenz zeitlicher instabiler Moden verursacht wird. Darüber hinaus tritt die resonante Überreflexion auch bei Resonanzfrequenzen höherer instabiler Moden auf, deren Überreflexionskoeffizienten jedoch immer kleiner sind als die durch die erste instabile Mode verursachten Überreflexionskoeffizienten. Im letzten Teil dieser Arbeit wird die Überreflexion akustischer Wellen in einer reibungsfreien, kompressiblen Überschall-Grenzschichtströmung durch direkte numerische Simulationen (DNS) verifiziert. Ein Wellenpaket, das ebene Wellen mit konstanten Wellenlängen und Amplituden enthält, wird mit der freien Strömung überlagert, und die Einfalls- und Reflexionsprozesse des Wellenpakets werden simuliert. In den Simulationen ist in Wandnähe die Dispersion des Wellenpakets aufgrund starker Scherungseffekte deutlich zu beobachten. Wenn die reflektierte Welle schließlich in die freie Strömung zurückkehrt, wird eine Verstärkung der Amplitude der reflektierten Wellen festgestellt. Ein außergewöhnlicher Überreflextionskoeffizient tritt insbesondere dann auf, wenn die Frequenz der einfallenden Welle in der Nähe der Resonanzfrequenz liegt, was auf das Auftreten der resonanten Überreflexion hinweist und die Ergebnisse aus der theoretischen Analyse bestätigt.

German
Status: Publisher's Version
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-210167
Classification DDC: 500 Science and mathematics > 510 Mathematics
500 Science and mathematics > 530 Physics
600 Technology, medicine, applied sciences > 620 Engineering and machine engineering
Divisions: 16 Department of Mechanical Engineering > Fluid Dynamics (fdy)
Date Deposited: 05 Oct 2022 13:17
Last Modified: 07 Oct 2022 06:34
URI: https://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/id/eprint/21016
PPN: 500033323
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