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Towards a Dimension Formula for Automorphic Forms on O(II_2,10)

Rössler, Maximilian (2021):
Towards a Dimension Formula for Automorphic Forms on O(II_2,10). (Publisher's Version)
Darmstadt, Technische Universität,
DOI: 10.26083/tuprints-00019022,
[Ph.D. Thesis]

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Item Type: Ph.D. Thesis
Status: Publisher's Version
Title: Towards a Dimension Formula for Automorphic Forms on O(II_2,10)
Language: English
Abstract:

This thesis is concerned with the computation of dimension formulas for special orthogonal modular forms associated with the II_2,10-lattice. For a given arithmetic group, the dimension of the spaces of these orthogonal modular forms is a polynomial of degree 10 in the weight. By using the Hirzebruch-Riemann-Roch theorem and Hirzebruch-Mumford proportionality, this polynomial can be determined up to a geometric error term; this error term is a linear polynomial whose coefficients are given by intersection products of toroidal boundary divisors and certain logarithmic Chern classes. We describe this error term in more detail and determine important components. For this purpose, we construct a special toroidal compactification of the orthogonal moduli variety associated to the II_2,10(N)-lattice and study its geometry. We also describe an essential part of the intersection theory of this compactification, thus reducing the computation of the linear coefficient of the error term to a combinatorial problem. Finally, we give methods to reduce the computation of the constant coefficient of the error term to combinatorial problems; in particular, we can formulate a formulation of the error term without logarithmic Chern classes.

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage

Diese Dissertation beschäftigt sich mit der Bestimmung von Dimensionsformeln für spezielle orthogonale Modulformen, die mit dem II_2,10-Gitter in Zusammenhang stehen. Für eine vorgegebene arithmetische Gruppe ist die Dimension der Räume dieser orthogonalen Modulformen ein Polynom zehnten Grades im Gewicht. Durch Nutzung des Hirzebruch–Riemann–Roch-Theorems und Hirzebruch–Mumford-Proportionalität lässt sich dieses bis auf einen geometrischen Fehlerterm exakt bestimmen; der Fehlerterm ist ein lineares Polynom, dessen Koeffizienten durch Schnittprodukte toroidaler Randdivisoren und bestimmter logarithmischer Chernklassen gegeben sind. In dieser Arbeit beschreiben wir diesen Fehlerterm genauer und bestimmen wichti- ge Bestandteile. Hierfür konstruieren wir eine spezielle toroidale Kompaktifizierung der zum II2,10(N)-Gitter assoziierten orthogonalen Modulvarietät und untersuchen deren Geometrie. Wir beschreiben zudem einen wesentlichen Teil der Schnitttheorie ebendieser Kompaktifizierung und reduzieren damit die Berechnung des linearen Koeffizienten des Fehlerterms auf ein kombinatorisches Problem. Schließlich geben wir Methoden an, welche die Berechnung des konstanten Koeffizienten des Fehlerterms ebenfalls auf kombinatorische Probleme reduzieren; inbesondere können wir eine Darstellung des Fehler- terms ohne logarithmische Chernklassen formulieren.

German
Place of Publication: Darmstadt
Collation: 271 Seiten
Classification DDC: 500 Naturwissenschaften und Mathematik > 510 Mathematik
Divisions: 04 Department of Mathematics > Algebra
04 Department of Mathematics > Algebra > Infinite dimensional Lie algebras, vertex algebras, automorphic forms
Date Deposited: 13 Jul 2021 10:42
Last Modified: 13 Jul 2021 10:43
DOI: 10.26083/tuprints-00019022
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-190223
Referees: Scheithauer, Prof. Dr. Nils ; Bruinier, Prof. Dr. Jan Hendrik
Refereed: 15 June 2021
URI: https://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/id/eprint/19022
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