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Lokale und globale Algorithmen zur Approximation mit erweiterten B-Splines

Prasiswa, Jennifer :
Lokale und globale Algorithmen zur Approximation mit erweiterten B-Splines.
TU Darmstadt
[Ph.D. Thesis], (2009)

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Item Type: Ph.D. Thesis
Title: Lokale und globale Algorithmen zur Approximation mit erweiterten B-Splines
Language: German
Abstract:

Tensorprodukt-B-Splines sind hervorragend zur Approximation auf Boxen geeignet. Auf beliebigen Gebieten weisen sie jedoch Stabilitätsprobleme auf, die zu Randartefakten, d. h. Fehlern in Randnähe führen. Ähnliche Phänomene im Kontext der Finiten-Elemente-Methode haben die Entwicklung der so genannten erweiterten gewichteten B-Splines motiviert. Diese Arbeit untersucht, in wieweit sich die Vorteile der Erweiterung auch bei Approximationsproblemen ausnutzen lassen. Sie geht also der Frage nach, ob sich die guten Approximationseigenschaften der Standard-Tensorprodukt-B-Splines auf rechteckigen Gebieten auch auf beliebige glatt berandete Gebiete ausweiten lassen. Insbesondere werden Zwei-Schritt-Verfahren untersucht, die eine hohe Flexibilität und gute Parallelisierbarkeit bieten. In der Tat sind stabile Zwei-Schritt-Verfahren von optimaler Approximationsgüte. Gleiches gilt auch für stabile globale Methoden mit erweiterten Splines. Somit ist für die erweiterten Splines neben ihrer Verwendung im Bereich der Finite-Elemente-Methode das Anwendungsgebiet der Approximation erschlossen. Bei der Approximation gestreuter Daten ist die Stabilität der Verfahren von der Datendichte abhängig. Die hier präsentierten Methoden besitzen gute Fehlerabschätzungen und sind parallelisierbar. Der große Nachteil von Splineverfahren auf Gebieten, die Randartefakte, können durch die Erweiterung effizient vermieden werden. Die Einführung einer gewichteten Least-Squares-Approximation ermöglicht darüber hinaus einen effizienten Umgang mit ungleichmäßig verteilten Daten. Eine weitere dargestellte Anwendung ist das Hole-Filling. Es wird ein iterativer Ansatz präsentiert, bei dem die Füllungen in jeder Stufe an Glattheit gewinnen. Der dazu entwickelte Algorithmus bietet unter Anderem eine Möglichkeit Gewichtsfunktionen automatisiert zu berechnen, ein wichtiger Schritt für die praktische Anwendbarkeit der web-Spline-Methoden.

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage
Tensorproduct B-Splines are well suited for approximation on rectangular boxes, they provide good error-rates with few degrees of freedom, can easily be extended to higher dimensions and are fast to evaluate. However on arbitrary domains stability problems arise, leading to shape-artifacts near the boundary. Similar phenomena can be observed when using Tensorproduct B-Splines as solution spaces in the Finite Element Method. This motivated the construction of the so called weighted extended B-Splines (web-splines). This work examines whether it is possible to make use of the advantages of the extension in approximation. It investigates whether the superb approximation properties of the Tensorproduct B-Splines on rectangular domains can be widened to arbitrary smooth domains. The theory presented focuses on two-step algorithms, as these are more flexible and can be parallelized. Indeed stable two-step algorithms provide optimal approximation order. Similar results for global approximations are given. The approximation of scattered data is the first application considered, here stability depends on data density. A weighted approximation method for scattered data using extended B-Splines is given, it provides good results even for unevenly distributed data. A second application is hole-filling. An iterative approach leads a filling of desired smoothness. The hole-filling algorithm can for example be used to construct weight functions automatically, increasing the usability of the web-spline methods.English
Uncontrolled Keywords: approximation, splines, hole-filling, scattered data
Alternative keywords:
Alternative keywordsLanguage
approximation, splines, hole-filling, scattered dataEnglish
Classification DDC: 500 Naturwissenschaften und Mathematik > 510 Mathematik
Divisions: Fachbereich Mathematik > Geometrie und Approximation
Date Deposited: 28 Aug 2009 06:07
Last Modified: 07 Dec 2012 11:55
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-18843
License: Simple publication rights for ULB
Referees: Reif, Prof. Dr. Ulrich and Höllig, Prof. Dr. Klaus
Refereed: 9 July 2009
URI: http://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/id/eprint/1884
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