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The Navier-Stokes Equations with Elastic Boundary and Boundary Conditions of Friction Type

Schmidt, Andreas (2021):
The Navier-Stokes Equations with Elastic Boundary and Boundary Conditions of Friction Type. (Publisher's Version)
Darmstadt, Technische Universität,
DOI: 10.26083/tuprints-00018620,
[Ph.D. Thesis]

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Item Type: Ph.D. Thesis
Status: Publisher's Version
Title: The Navier-Stokes Equations with Elastic Boundary and Boundary Conditions of Friction Type
Language: English
Abstract:

In this work we consider the incompressbile Navier-Stokes equations from fluid mechanics in combination with two different types of boundary conditions. One problem that we consider is a free boundary problem. Here, the upper, elastic boundary part of a cylindric container, that contains a viscous fluid, is set in motion due to an interior force, induced by the velocity field of the fluid, and due to a given exterior force. In Chapter 2, we consider this problem formulated on the fixed, upper half space. Via partial Fourier transform we show the existence of solutions which belong to homogeneous Sobolev spaces. Then, we identify admissible spaces for the initial values. The second boundary condition models friction of a viscous fluid with the boundary of the domain. In Chapter 3, we show the existence of global, weak solutions that are strong solutions with respect to time in two dimensions. In the three-dimensional case, we show short time existence of strong solutions and global existence if the given data are small enough. Furthermore, strong-weak uniqueness is shown, as well as a connection of this boundary condition to the Dirichlet- and perfect slip boundary condition. In Chapter 4, we combine the above boundary conditions in order to quantify the elasticity of an upper, free boundary of a container, that is filled with a viscous fluid. We show the existence of weak solutions for this hybrid model.

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage

In dieser Arbeit betrachten wir die aus der Strömungsmechanik bekannten inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen mit zwei verschiedenen Arten von Randbedingungen. Ein Problem, das wir betrachten, ist ein Problem mit freiem Rand. Hier wird der obere, elastische Teil des Randes eines zylindrischen Behälters, welcher mit einer viskosen Flüssigkeit gefüllt ist, mittels einer äußeren Kraft und einer inneren, vom Geschwindigkeitsfeld induzierten Kraft in Bewegung versetzt. In Kapitel 2 betrachten wir dieses Problem formuliert auf dem oberen Halbraum als fixiertes Referenzgebiet. Via partieller Fouriertransformation zeigen wir die Existenz von Lösungen, welche in homogenen Sobolevräumen liegen. Im Anschluss identifizieren wir zulässige Räume für die Anfangswerte. Die zweite Randbedingung modelliert die Reibung einer viskosen Flüssigkeit mit dem Rand eines Gebietes. In Kapitel 3 zeigen wir die Existenz von globalen, schwachen Lösungen, welche überdies im zwei Dimensionen starke Lösungen bezüglich der Zeit sind. Im dreidimensionalen Fall zeigen wir die Kurzzeitexistenz von starken Lösungen und globale Existenz, sofern die gegebenen Daten klein genug sind. Außerdem wird stark-schwache Eindeutigkeit nachgewiesen, sowie eine Verbindung dieser Randbedingung mit der Dirichlet- und der sogenannten perfect slip Randbedingung hergestellt. In Kapitel 4 werden die beiden Randbedingungen kombiniert, um die Elastizität des oberen, freien Randes eines Behälters, welcher mit einer viskosen Flüssigkeit gefüllt ist, zu quantifizieren. Für dieses Hybridmodell wird die Existenz von schwachen Lösungen gezeigt.

German
Place of Publication: Darmstadt
Collation: vii, 91 Seiten
Classification DDC: 500 Naturwissenschaften und Mathematik > 510 Mathematik
Divisions: 04 Department of Mathematics > Analysis > Partial Differential Equations and Applications
Date Deposited: 29 Jun 2021 13:23
Last Modified: 29 Jun 2021 13:23
DOI: 10.26083/tuprints-00018620
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-186207
Referees: Farwig, Prof. Dr. Reinhard ; Kyed, Prof. Dr. Mads
Refereed: 30 April 2021
URI: https://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/id/eprint/18620
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