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From Shock-Capturing to High-Order Shock-Fitting Using an Unfitted Discontinuous Galerkin Method

Geisenhofer, Markus (2021):
From Shock-Capturing to High-Order Shock-Fitting Using an Unfitted Discontinuous Galerkin Method. (Publisher's Version)
Darmstadt, Technische Universität Darmstadt,
DOI: 10.26083/tuprints-00017526,
[Ph.D. Thesis]

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Item Type: Ph.D. Thesis
Status: Publisher's Version
Title: From Shock-Capturing to High-Order Shock-Fitting Using an Unfitted Discontinuous Galerkin Method
Language: English
Abstract:

In industry and research, CFD methods play an essential role in the study of compressible flows which occur, for example, around airplanes or in jet engines, and complement experiments as well as theoretical analysis. In transonic flows, the flow speed may already exceed the speed of sound locally, giving rise to discontinuous flow phenomena, such as shock waves. These phenomena are numerically challenging due to having a size of only a few mean free paths and featuring a large gradient in physical quantities. The application of traditional low-order approaches, such as the FEM or the FVM, is usually limited by their immense computational costs for large three-dimensional problems with complex geometries when aiming for highly accurate solutions. By contrast, high-order methods, such as the DG method, inherently enable a deep insight into complex fluid flows due to their high-order spatial convergence rate for smooth problems while requiring comparatively few.

This work presents two different numerical approaches in the context of unfitted DG discretizations of the Euler equations for inviscid compressible flow. In these approaches, we employ a sharp interface description by means of the zero iso-contour of a level-set function for the treatment of immersed boundaries and shock fronts, respectively. Thus, we omit the elaborate and computationally expensive generation of boundary-fitted grids. The robustness, stability, and accuracy of the presented numerical approaches are tested against a variety of benchmarks.

The presented shock-capturing approach makes use of a DG IBM. It features a cell-agglomeration strategy in order to avoid ill-conditioned system matrices and a severe explicit time-step restriction both caused by small and ill-shaped cut cells. In high Mach number flows, the polynomial approximation oscillates in the vicinity of discontinuous flow phenomena, degrading the accuracy and the stability of the numerical method. As a remedy, we adapt a two-step shock-capturing strategy consisting of a modal-decay detection and a smoothing based on artificial viscosity for the application on an agglomerated cut-cell grid. However, the second-order artificial viscosity term drastically restricts the globally admissible time-step size. We address this issue by means of an adaptive LTS scheme, which we extend by a dynamic rebuild of the cell clustering for an efficient application in unsteady flows.

The presented shock-fitting approach employs an XDG method, which we enhance by verifying the implementation of two level-set functions. Their zero iso-contours describe a solid body and a shock front, respectively. We present a novel sub-cell accurate reconstruction procedure of the shock front. In particular, we show a one-dimensional proof of concept for a stationary normal shock wave by applying an implicit pseudo-time-stepping procedure in order to correct the interface position inside a cut background cell. Thus, this work builds a fundamental basis on the way towards a high-order XDG method for supersonic compressible flow in three dimensions.

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage

Numerische Strömungssimulation (engl. CFD) spielt sowohl in der Industrie als auch in der Forschung eine wichtige Rolle und ergänzt experimentelle Versuche sowie theoretische Untersuchungen. CFD-Methoden werden auch für die Simulation kompressibler Strömungen, wie sie beispielsweise an Flugzeugen und in Strahltriebwerken auftreten, verwendet. Bereits in transsonischen Strömungen kann die Strömungsgeschwindigkeit die Schallgeschwindigkeit lokal überschreiten. Dadurch können diskontinuierliche Strömungsphänomene wie Verdichtungsstöße auftreten. Die numerische Modellierung dieser Strömungsphänomene ist herausfordernd, da sie lediglich einige mittlere freie Weglängen groß sind sowie einen großen Gradienten in den physikalischen Größen aufweisen. Klassische Methoden niedriger Ordnung, wie die Finite-Elemente-Methode (FEM) oder die Finite-Volumen-Methode (FVM), werden selten für sehr genaue Simulationen großer dreidimensionaler Problemstellungen mit komplexen Geometrien eingesetzt, da der Rechenaufwand in diesen Fällen enorm ist. Im Gegensatz dazu ermöglichen Methoden höherer Ordnung, wie die Discontinuous-Galerkin (DG)-Methode, aufgrund ihrer hohen räumlichen Konvergenzrate für glatte Probleme einen tiefen Einblick in solch komplexe Szenarien bei vergleichweise wenigen Freiheitsgraden.

In der vorliegenden Arbeit werden zwei unterschiedliche Ansätze zur numerischen Lösung der Euler-Gleichungen für reibungsfreie kompressible Strömungen durch sogenannte Unfitted-DG-Diskretisierungen vorgestellt. In diesen Ansätzen wird eine Sharp-Interface-Beschreibung verwendet, in der eingebettete Ränder (engl. immersed boundaries) bzw. die Fronten von Stoßwellen durch die Nullniveau-Menge einer Level-Set-Funktion beschrieben werden. Hierbei entfällt die aufwendige und teure Erstellung randangepasster Rechengitter. Die Robustheit, Stabilität und Genauigkeit der vorgestellten numerischen Ansätze wird mit einer Auswahl an Benchmarks aus der Literatur verglichen.

Der vorgestellte Shock-Capturing-Ansatz wird in einer Diskontinuous-Galerkin-Immersed-Boundary-Methode (DG IBM) implementiert, die einen Algorithmus zur Agglomeration von Zellen beinhaltet. Dieser verhindert eine schlechte Konditionierung der Systemmatrizen und verringert die große Beschränkung des expliziten Zeitschritts, beides hervorgerufen durch kleine und ungünstig geformte Schnittzellen. In Strömungen mit hohen Machzahlen beginnt die polynomiale Approximation in der Nähe von diskontinuierlichen Strömungsphänomenen zu oszillieren und beeinträchtigt die Genauigkeit und Stabilität der numerischen Methode. Als Lösung wird ein Shock-Capturing-Ansatz verwendet, der für die Verwendung auf einem agglomerierten Schnittzellen-Gitter erweitert wird. Dieser Ansatz besteht aus einer Erkennung problematischer Gitterzellen durch das Betrachten des modalen Abklingens der Lösung und einer Glättung mithilfe von künstlicher Viskosität. Jedoch beschränkt der künstliche Viskositätsterm zweiter Ordnung drastisch die global zulässige Zeitschrittgröße. Um diese Beschränkung zu verringern, wird ein adaptives lokales Zeitschrittverfahren verwendet, das um eine dynamische Neuerstellung der Zellgruppierungen für die Anwendung in instationären Strömungen erweitert wird.

Der vorgestellte Shock-Fitting-Ansatz wird in einer erweiterten Diskontinuous-Galerkin-Methode (engl. XDG method) implementiert. Die zugrunde liegende Codebasis wird durch die Verfikation zweier Level-Set-Funktionen, deren Nullniveau-Mengen einen Festkörper beziehungsweise die Front einer Stoßwelle beschreiben, erweitert. Dafür wird eine neuartige Methode zur Rekonstruktion der Stoßwellenfront eingeführt. Diese Methode bildet die Position der Stoßwellenfront innerhalb einer Gitterzelle numerisch exakt ab. Insbesondere wird eine eindimensionale Machbarkeitsstudie für eine stationäre gerade Stoßwelle vorgestellt. Hierfür wird ein implizites Pseudo-Zeitschrittverfahren entwickelt, um die Position der Grenzfläche, die die Stoßwellenfront beschreibt, innerhalb einer geschnittenen Hintergrundzelle zu korrigieren. Die vorliegende Arbeit bildet somit eine grundlegende Basis für eine XDG-Methode höherer Ordnung zur Berechnung kompressibler dreidimensionaler Überschallströmungen.

German
Place of Publication: Darmstadt
Collation: xxix, 166 Seiten
Classification DDC: 000 Allgemeines, Informatik, Informationswissenschaft > 004 Informatik
500 Naturwissenschaften und Mathematik > 500 Naturwissenschaften
500 Naturwissenschaften und Mathematik > 510 Mathematik
600 Technik, Medizin, angewandte Wissenschaften > 620 Ingenieurwissenschaften
Divisions: 16 Department of Mechanical Engineering > Fluid Dynamics (fdy)
16 Department of Mechanical Engineering > Fluid Dynamics (fdy) > Numerische Strömungssimulation
Exzellenzinitiative > Graduate Schools > Graduate School of Computational Engineering (CE)
Zentrale Einrichtungen > University IT-Service and Computing Centre (HRZ) > Hochleistungsrechner
Date Deposited: 17 Feb 2021 09:02
Last Modified: 17 Feb 2021 09:02
DOI: 10.26083/tuprints-00017526
Corresponding Links:
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-175260
Referees: Oberlack, Prof. Dr. Martin and Schäfer, Prof. Dr. Michael
Refereed: 19 January 2021
URI: https://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/id/eprint/17526
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