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Approximation and Model Reduction for the Stochastic Kinetics of Reaction Networks

Bronstein, Leo (2020):
Approximation and Model Reduction for the Stochastic Kinetics of Reaction Networks.
Darmstadt, Technische Universität, DOI: 10.25534/tuprints-00013433,
[Ph.D. Thesis]

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07.07.2020.pdf
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Item Type: Ph.D. Thesis
Title: Approximation and Model Reduction for the Stochastic Kinetics of Reaction Networks
Language: English
Abstract:

The mathematical modeling of the dynamics of cellular processes is a central part of systems biology. It has been realized that noise plays an important role in the behavior of these processes. This includes not only intrinsic noise, due to "random" molecular events within the cell, but also extrinsic noise, due to the varying environment of a cellular (sub-)system. These environmental effects and their influence on the system of interest have to be taken into account in a mathematical model. The thesis at hand deals with the (exact or approximate) reduced or marginal description of cellular subsystems when the environment of the subsystem is of no interest, and also with the approximate solution of the forward problem for biomolecular reaction networks in general. These topics are investigated across the hierarchy of possible models for reaction networks, from continuous-time Markov chains to stochastic differential equations to ordinary differential equation models. The first contribution is the derivation of moment closure approximations via a variational approach. The resulting viewpoint sheds light on the problems usually associated with moment closure, and allows one to correct some of them. The full probability distributions obtained from the variational approach are used to find approximate descriptions of heterogeneous rate equations with log-normally distributed extrinsic noise. The variational method is also extended to the approximation of multi-time joint distributions. Finally, the general form of moment equations and cumulant equations for mass-action kinetics is derived in the form of a diagrammatic technique. The second contribution is the investigation of the use of the Nakajima-Zwanzig-Mori projection operator formalism for the treatment of heterogeneous kinetics. Cumulant expansions in terms of partial cumulants are used to obtain approximate convolutional forward equations for the process of interest, with the heterogeneous reaction rates or the environment marginalized out. The performance of the approximation is investigated numerically for simple linear networks. Finally, extending previous work, a marginal description of the subsystem of interest on the process level, for fully bi-directionally coupled reaction networks, is obtained by means of stochastic filtering equations in combination with entropic matching. The resulting approximation is interpreted as an orthogonal projection of the full joint master equation, making it conceptually similar to the projection operator formalism. For mass-action kinetics, a product-Poisson ansatz for the filtering distribution leads to the simplest possible marginal process description, which is investigated analytically and numerically.

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage
Die mathematische Modellierung der Dynamik von biologischen Prozessen in Zellen ist ein zentraler Teil der Systembiologie. Es hat sich herausgestellt, dass Stochastizität eine wichtige Rolle im Verhalten dieser Prozesse spielt. Dabei ist nicht nur intrinsisches Rauschen, verursacht durch "zufällige" molekulare Ereignisse, von Bedeutung, sondern auch extrinsisches Rauschen, welches durch Variabilität in der Umgebung des (Sub-)Systems entsteht. Diese Umgebungseffekte und ihr Einfluss auf das interessierende System müssen in einem mathematischen Modell berücksichtigt werden. Die vorliegende Arbeit behandelt die (exakte oder approximative) reduzierte (marginalisierte) Beschreibung von zellulären Subsystemen, wenn die Umgebung des Subsystems nicht von Interesse ist. Außerdem wird allgemein das Vorwärtsproblem für biomolekulare Reaktionsnetzwerke behandelt. Diese Fragestellungen werden über die ganze Modellhierarchie von Reaktionsnetzwerken betrachtet, von Markovketten in kontinuierlicher Zeit über stochastische Differenzialgleichungen bis hin zu gewöhnlichen Differenzialgleichungen. Im ersten Teil der Arbeit werden Moment Closure Approximationen über einen Variationsansatz hergeleitet. Dieser Blickwinkel erlaubt es, einige der Probleme, die gewöhnlich mit Moment Closure assoziiert werden, zu verstehen und teilweise auch zu beheben. Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die der Variationsansatz liefert, werden benutzt um die approximativen Lösungen von heterogener Dynamik von Reaktionsratengleichungen mit Log-Normal verteilter Heterogenität zu bestimmen. Die Variationsmethode wird auch auf die Approximation von gemeinsamen Verteilungen mehrerer Zeitpunkte verallgemeinert. Zuletzt wird die allgemeine Form von Kumulanten- bzw. Momentengleichungen durch eine Diagrammtechnik beschrieben. Im zweiten Teil der Arbeit wird die Verwendung des Projektionsoperator-Formalismus von Nakajima, Zwanzig und Mori für die Behandlung von heterogener Reaktionskinetik untersucht. Kumulantenentwicklungen in partiellen Kumulanten werden verwendet, um approximative Vorwärtsgleichungen mit Konvolutionsterm für den marginalisierten Prozess zu erhalten. Die resultierende Approximation wird analytisch und numerisch untersucht. Im letzten Teil wird, als Verallgemeinerung von existierenden Arbeiten, die marginale Beschreibung eines Subsystems für beliebige, bidirektional gekoppelte Reaktionsnetzwerke entwickelt. Hierfür werden stochastische Filtergleichungen mit Entropic Matching kombiniert. Die resultierende Approximation wird als orthogonale Projektion der Mastergleichung des vollen Prozesses interpretiert, wodurch die hergeleitete Methode konzeptionell ähnlich zum Projektionsoperator-Formalismus wird. Für Systeme mit Massenwirkungskinetik wird mit einem Produkt-Poisson-Ansatz die einfachste Form des approximativen marginalen Prozesses analytisch und numerisch untersucht.German
Place of Publication: Darmstadt
Classification DDC: 500 Naturwissenschaften und Mathematik > 500 Naturwissenschaften
500 Naturwissenschaften und Mathematik > 510 Mathematik
500 Naturwissenschaften und Mathematik > 570 Biowissenschaften, Biologie
Divisions: 18 Department of Electrical Engineering and Information Technology > Institute for Telecommunications > Bioinspired Communication Systems
Date Deposited: 22 Sep 2020 13:59
Last Modified: 22 Sep 2020 13:59
DOI: 10.25534/tuprints-00013433
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-134330
Referees: Koeppl, Prof. Dr. Heinz and Sollich, Prof. Dr. Peter
Refereed: 3 December 2019
URI: https://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/id/eprint/13433
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