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A High-Order (EXtended) Discontinuous Galerkin Solver for the Simulation of Viscoelastic Droplet

Kikker, Anne (2020):
A High-Order (EXtended) Discontinuous Galerkin Solver for the Simulation of Viscoelastic Droplet.
Darmstadt, Technische Universität, DOI: 10.25534/tuprints-00012308,
[Ph.D. Thesis]

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URN 123084.pdf
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Item Type: Ph.D. Thesis
Title: A High-Order (EXtended) Discontinuous Galerkin Solver for the Simulation of Viscoelastic Droplet
Language: English
Abstract:

The aim of this work is to provide a solver for viscoelastic multi-phase flows within the Bounded Support Spectral Solver (BoSSS) currently under development at the Chair of Fluid Dynamics at the Technical University of Darmstadt. The discretisation in BoSSS consists of a high-order Discontinuous Galerkin (DG) method for single-phase flow and a high-order eXtended Discontinuous Galerkin (XDG) method for the multi-phase purpose. The solver shall be used to investigate numerically the behaviour of viscoelastic droplets. The macroscopic Oldroyd B model which is used in a wide range of applications is chosen as the constitutive model. A detailed derivation of the system of equations including the modeling principles for the Oldroyd B model is presented. A DG discretisation of the system of equations including the Local Discontinuous Galerkin (LDG) method is presented after introducing the field of the DG method. The derivation of appropriate flux functions for the constitutive equations and the extra stress tensor are one of the key derivations of this scientific work. Difficulties arising in the numerical solution of viscoelastic flow problems for higher Weissenberg numbers for different discretisation methods are due to the convection dominated, mixed hyperbolic-elliptic-parabolic nature of the system of equations. Several strategies are presented which overcome these problems and are known from the literature. A key achievement of this scientific work is the application of the LDG method, originally developed for a hyperbolic system of equations for a Newtonian fluid, on the viscoelastic system of equations which renders methods for preserving ellipticity unnecessary. Furthermore, various strategiesn to enhance and to support convergence of the solution of the DG discretised system are presented. These are the Newton method with different approaches determining the Jacobian of the system, a homotopy continuation method based on the Weissenberg number for a better initial guess for the Newton method, and a troubled cell indicator combined with an artificial diffusion approach or an adaptive mesh refinement strategy, respectively. For the completeness of this work the XDG method is presented using a sharp interface approach with a signed distance level-set function as it is implemented in BoSSS. The single-phase solver is combined with these methods and appropriate flux functions for the interface are implemented to enable multi-phase applications for viscoelastic fluid. Several numerical experiments are conducted to verify and to validate the viscoelastic singlephase solver and to show the capability of the viscoelastic multi-phase solver to simulate viscoelastic droplets. Advantages and disadvantages of the implementation and an outlook for future research can be found in the conclusion.

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage
Als Ziel der vorliegenden Arbeit soll ein Löser für viskoelastische Mehrphasenströmungen zur Verfügung gestellt werden. Dieser Löser ist eingebettet in die Software Bounded Support Spectral Solver (BoSSS), die aktuell am Fachgebiet für Strömungsdynamik an der Technischen Universität Darmstadt entwickelt wird. Die in BoSSS verwendete Diskretisierung ist eine diskontinuierliche Galerkin (DG) Methode hoher Ordnung für einphasige Strömungen und eine erweiterete (eXtended) DG (XDG) Methode hoher Ordnung für den mehrphasigen Anwendungsfall. Der Löser soll dazu genutzt werden, das Verhalten viskoelastischer Tropfen numerisch zu untersuchen. Als Konstitutivgleichung wird das makroskopische Oldroyd B Modell, das in vielen Bereichen Anwendung findet, ausgewählt. Die Herleitung des zugrundeliegenden Gleichungssystems inklusive der Prinzipien zur Modellierunge des Oldroyd B Modells werden gezeigt. Die DG Diskretisierung des Gleichungssystems und die lokale DG (LDG) Methode werden inklusive einer Einführung in die DG Methodik präsentiert. Die Ableitung geeigneter Flussformulierungen für die Konstitutivgleichungen ist dabei eines der zentralen Ergebnisse der vorliegenden wissenschaftlichen Arbeit. Aufgrund des konvektionsdominierten, gemischt hyperbolisch-elliptisch-parabolischen Gleichungssystems können Probleme bezüglich der numerischen Lösung des viskoelastischen Gleichungssystems für höhere Weissenbergzahlen für verschiedene Diskretisierungsmethoden entstehen. Einige Ansätze zur Lösung dieser Probleme, die in der Literatur beschrieben werden, werden präsentiert. Ein weiteres zentrales Ergebnis dieser wissenschaftlichen Arbeit ist der Einsatz der LDG Methode, die ursprünglich für hyperbolische Gleichunssysteme für ein newtonsches Fluid entwickelt wurde und deren Anwendung Methoden zur Erhaltung elliptischer Eigenschaften im Gleichungssystem unnötig macht. Des Weiteren werden einige Strategien vorgestellt, deren Ziel die Verbesserung der Konvergenz der Lösung für das diskretisierte Gleichungssystem ist. Diese sind das Newtonverfahren mit unterschiedlichen Ansätzen zur Ermittlung der Jacobi-Matrix des Systems, eine Homotopie-Fortsetzungsmethode basierend auf der Weissenbergzahl für eine bessere Initiallösung im Newtonverfahren, und ein Indikator für gestörte Zellen kombiniert mit einer künstlichen Diffusion oder einer adaptiven Gitterverfeinerung. Zur Vollständigkeit der Arbeit wird die XDG Methode, die in BoSSS implementiert ist, erläutert. Hierbei wird die Phasengrenze mittels einer vorzeichenbasierten Abstandsfunktion, der Level-Set-Funktion, dargestellt. Der Einphasenlöser wird mit diesen Methoden kombiniert und geeignete Flussfunktionen für die Phasengrenze werden implementiert, um eine Anwendung für viskoelastische Mehrphasenströmungen zu ermöglichen. Einige numerische Ergebnisse des einphasigen Lösers zur Verifikation und Validierung der Implementierung und des mehrphasigen Lösers zur Machbarkeit zur Simulation von viskoelastischen Tropfen werden gezeigt. Vor- und Nachteile der Implementierung sowie ein Ausblick für zukünftige Forschung können in der Schlussfolgerung nachgelesen werden.German
Place of Publication: Darmstadt
Classification DDC: 000 Allgemeines, Informatik, Informationswissenschaft > 004 Informatik
500 Naturwissenschaften und Mathematik > 500 Naturwissenschaften
500 Naturwissenschaften und Mathematik > 510 Mathematik
600 Technik, Medizin, angewandte Wissenschaften > 620 Ingenieurwissenschaften
Divisions: 16 Department of Mechanical Engineering > Fluid Dynamics (fdy)
16 Department of Mechanical Engineering > Fluid Dynamics (fdy) > Mehrphasenströmung
16 Department of Mechanical Engineering > Fluid Dynamics (fdy) > Numerische Strömungssimulation
Date Deposited: 19 Aug 2020 09:40
Last Modified: 19 Aug 2020 14:10
DOI: 10.25534/tuprints-00012308
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-123084
Referees: Oberlack, Prof. Dr. Martin and Bothe, Prof. Dr. Dieter
Refereed: 10 June 2020
URI: https://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/id/eprint/12308
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