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Exit problems for fractional processes, random walks and an insurance model

Buck, Micha Matthäus (2020):
Exit problems for fractional processes, random walks and an insurance model.
Darmstadt, Technische Universität Darmstadt, DOI: 10.25534/tuprints-00011735,
[Ph.D. Thesis]

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Item Type: Ph.D. Thesis
Title: Exit problems for fractional processes, random walks and an insurance model
Language: English
Abstract:

In this thesis, we are concerned with different persistence problems and a problem from risk theory. The content of this work is divided into four parts that are mostly independent. In the first part, we consider two classes of Gaussian sequences that are discrete-time analogs of two-sided fractional Brownian motion and two-sided integrated fractional Brownian motion, respectively. In both cases, we show that the persistence probability decreases polynomially and determine the polynomial rate. In the second part, we present a first contribution to the rigorous study of fractional Brownian motion conditioned to be positive. More precisely, we consider a slightly modified problem, where the process is penalized instead of being killed when becoming negative. Then, we discuss the result in the Brownian case in terms of stochastic differential equations. In the third part, we generalize classical persistence questions for centered random walks with finite variance. For this purpose, we introduce a class of absorption mechanisms that generalize the classical situation. Our main results serve as a toolkit that allows to obtain persistence probability and scaling limit results for many different examples in this class. In the fourth part, we are concerned with a problem from risk theory. We consider the classical Cramér-Lundberg process but with modified notion of ruin. Then, under a rather general assumption on our model, which is satisfied by most of such modified models from the literature, we study the relation of the asymptotics of the modified ruin probability to the classical ruin probability. This is done under the Cramér condition as well as for subexponential integrated claim sizes.

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage
Diese Dissertation befasst sich mit verschiedenen Persistenz-Problemen sowie einem Problem aus der Risikotheorie. Inhaltlich gliedert sich die Arbeit in vier Teile, die größtenteils unabhängig voneinander sind. Im ersten Teil beschäftigen wir uns mit Gaußprozessen in diskreter Zeit, welche zeitdiskrete Analoga der zweiseitigen gebrochenen Brownschen Bewegung beziehungsweise der zweiseitigen integrierten gebrochenen Brownschen Bewegung sind. In beiden Fällen zeigen wir, dass die Persistenz-Wahrscheinlichkeit polynomiell fällt und bestimmen die polynomielle Rate. Während die Persistenz-Wahrscheinlichkeit der einseitigen gebrochenen Brownschen Bewegung bereits ausführlich in der mathematischen Literatur untersucht wurde, gibt es noch keinen rigorosen Ansatz eine “gebrochene Brownsche Bewegung bedingt darauf positiv zu sein” zu definieren. Im zweiten Teil dieser Arbeit betrachten wir eine leichte Abwandlung dieses Problems, bei dem die gebrochene Brownsche Bewegung negative Werte annehmen darf, dafür jedoch “bestraft” wird. Dabei konzentrieren wir uns auf den Brownschen Spezialfall und leiten für diesen eine stochastische Differentialgleichung her, die vom Grenzprozess erfüllt wird. Im dritten Teil verallgemeinern wir klassische Persistenz-Fragen für zufällige zentrierte Irrfahrten mit endlicher Varianz. Zu diesem Zweck führen wir eine Klasse von Absorptionsmechanismen ein, welche die klassische Situation verallgemeinern. Unsere Hauptresultate dienen als eine Art Werkzeugsatz, mit dem Resultate über Persistenz-Wahrscheinlichkeiten sowie funktionale Grenzwertsätze für zufällige Irrfahrten, die nicht absorbiert werden, leicht gewonnen werden können. Im vierten Teil beschäftigen wir uns mit einem Problem aus der Risikotheorie. Wir betrachten den klassischen Cramér-Lundberg Prozess mit einer modifizierten Definition von Ruin. Unter einer allgemeinen Annahme an unser Modell, welche von den meisten solcher modifizierten Modelle aus der Literatur erfüllt wird, untersuchen wir dann das asymptotische Verhalten der modifizierten Ruin-Wahrscheinlichkeit und vergleichen es mit dem der klassischen Ruin-Wahrscheinlichkeit. Wir nehmen dabei an, dass die Cramér-Bedingung erfüllt ist oder die Verteilung der integrierten Schadenshöhen subexponentiell ist.German
Place of Publication: Darmstadt
Classification DDC: 500 Naturwissenschaften und Mathematik > 510 Mathematik
Divisions: 04 Department of Mathematics > Stochastik
Date Deposited: 02 Jun 2020 12:31
Last Modified: 09 Jul 2020 06:33
DOI: 10.25534/tuprints-00011735
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-117357
Referees: Aurzada, Prof. Dr. Frank and Simon, Prof. Dr. Thomas
Refereed: 25 February 2020
URI: https://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/id/eprint/11735
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