TU Darmstadt / ULB / tuprints

Optimal One-Point Approximation of Stochastic Heat Equations with Additive Noise

Wagner, Tim :
Optimal One-Point Approximation of Stochastic Heat Equations with Additive Noise.
TU Darmstadt
[Ph.D. Thesis], (2008)

[img]
Preview
Dissertation - PDF
main.pdf
Available under Creative Commons Attribution Non-commercial No Derivatives.

Download (1416Kb) | Preview
Item Type: Ph.D. Thesis
Title: Optimal One-Point Approximation of Stochastic Heat Equations with Additive Noise
Language: English
Abstract:

Let X be the mild solution of a stochastic heat equation taking values in a Hilbert space H=L^2((0,1)^d) driven by a (cylindrical) Brownian motion W with values in H. We study the strong approximation of X at a fixed time point t=T for equations with additive noise. The algorithms we consider, are based on evaluations of a finite number of one-dimensional components of W at a finite number of time nodes. For the first time, non-equidistant time discretizations are considered. We analyze the smallest possible error obtained by arbitrary algorithms that use at most a total of N evaluations. The main results of this thesis are the derivation of the weak asymptotic of these minimal errors, depending on the spatial dimension d and the smoothness of W, and further the construction of asymptotically optimal approximations. In particular, we show that asymptotic optimality, in general, is only achieved by approximation schemes based on non-equidistant time discretizations. We complete our analytical results with simulation studies.

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage
Sei X die milde Lösung einer stochastischen Wärmeleitungsgleichung mit Werten im Hilbertraum H=L^2((0,1)^d). Diese Gleichung werde von einer (zylindrischen) Brownschen Bewegung W getrieben, die ebenfalls Werte in H annimmt. Wir analysieren das Problem der starken Approximation von X zu einem festen Zeitpunkt t=T für Gleichungen mit additivem Rauschen. Dazu betrachten wir Algorithmen, die auf einer endlichen Anzahl der eindimensionalen Komponenten von W an einer endlichen Zahl von Auswertungspunkten basieren. Zum ersten Mal werden deshalb auch solche Approximationen betrachtet, die auf nicht äquidistanten Zeitdiskretisierungen basieren.German
Wir untersuchen den kleinstmöglichen Fehler, der durch beliebige Algorithmen, die auf einer vorgegebenen Anzahl N von Auswertungen beruhen, erreichbar ist. Die Hauptergebnisse der Arbeit sind die Bestimmung der schwachen Asymptotik dieser minimalen Fehler in Abhängigkeit von der räumlichen Dimension d und der Glattheit der treibenden Brownschen Bewegung W und die Konstruktion asymptotisch optimaler Approximationen. Es zeigt sich insbesondere, dass asymptotische Optimalität im Allgemeinen nur von Algorithmen erreicht wird, die auf nicht äquidistanter Zeitdiskretiserung basieren. Die analytischen Ergebnisse werden durch Simulationsbeispiele ergänzt.German
Uncontrolled Keywords: Stochastic heat equations, Strong approximation, Minimal errors, Lower bounds, Non-equidistant time discretization
Alternative keywords:
Alternative keywordsLanguage
Stochastic heat equations, Strong approximation, Minimal errors, Lower bounds, Non-equidistant time discretizationEnglish
Classification DDC: 500 Naturwissenschaften und Mathematik > 510 Mathematik
Divisions: Fachbereich Mathematik > Stochastik
Date Deposited: 21 Nov 2008 10:17
Last Modified: 07 Dec 2012 11:54
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-11703
License: Creative Commons: Attribution-Noncommercial-No Derivative Works 3.0
Referees: Ritter, Prof. Dr. Klaus and Geiß, Prof. Dr. Stefan
Refereed: 2007
URI: http://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/id/eprint/1170
Export:

Actions (login required)

View Item View Item