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Towards a computer-assisted global linear stability analysis of fluid particles

Kromer, Johannes Richard (2020):
Towards a computer-assisted global linear stability analysis of fluid particles.
Darmstadt, Technische Universität, DOI: 10.25534/tuprints-00011434,
[Ph.D. Thesis]

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Item Type: Ph.D. Thesis
Title: Towards a computer-assisted global linear stability analysis of fluid particles
Language: English
Abstract:

For many technical processes, the dynamics of rising or falling liquid particles are of paramount importance. Their paths and forms show a complex spectrum of physical phenomena, involving instabilities and bifurcations. Despite numerous numerical and experimental investigations, many of these phenomena remain to be understood. While experimental access to local quantities is often not feasible without interfering with the flow, numerical studies allow their extraction without disturbance.

The present work, therefore, is concerned with the development and implementation of an algorithm capable of global linear stability analysis of deformable fluid particles. In mathematical terms, stability is assessed by eigenvalues, which are calculated by a combination of a numerical flow solver and linear algebra. For this purpose, a stationary state of the system is superimposed with a small perturbation and numerically integrated to obtain the evolution of the perturbation. In the context of two-phase flows, the presence of dynamic interfaces requires a transformation onto a reference configuration, whose mathematical foundations are derived. The stability of two relevant prototypical configurations - spherical particles in zero gravity and droplets freely rising in an ambient fluid - is investigated, whereby the modes belonging to the unstable eigenvalues are described both quantitatively and qualitatively.

For small perturbations, initialization of the numerical flow solver requires highly accurate volume fractions, whose computation in three spatial dimensions is mathematically demanding and resorts to a novel method developed in the context of this work. Exploiting the appropriate divergence theorems for hypersurfaces, in combination with an approximation motivated by differential geometry, allows transforming the integrals in three spatial dimensions to line integrals, implying a considerable reduction of complexity for their numerical quadrature. The consideration of topological configurations of the intersected computational cells allows for a robust implementation, that is numerically tested for spheres, ellipsoids, and disturbed spheres. The global errors of the volume approximation show up to fourth-order convergence with spatial resolution.

Employing numerical methods for stability analysis of physical systems implies that the spectra found contain both numerical and physical elements. Surface tension is crucial for the flows considered here, the numerical treatment of which requires the calculation of mean curvatures from discrete volume fractions. A substantiated interpretation of the results of stability analysis, therefore, requires accurate knowledge of the properties of the implemented numerical schemes. A theoretical and numerical investigation of the height function method is conducted for several technically relevant hypersurfaces, with statistical processing flanking the interpretation. Provided sufficiently accurate volume fractions, the theoretical errors exhibit second-order convergence for smooth hypersurfaces. However, numerical experiments show that the quality of the volume fractions (in terms of global volume conservation) is not sufficient for the expected convergence. This is directly related to the unstable eigenvalues found.

Alternative Abstract:
Alternative AbstractLanguage
Für viele technische Prozesse ist die Dynamik aufsteigender oder fallender Flüssigkeitspartikel von großer Bedeutung. Deren Pfade und Formen zeigen ein komplexes Spektrum physikalischer Phänomene, das Instabilitäten und Bifurkationen beinhaltet. Trotz zahlreicher numerischer und experimenteller Untersuchungen sind viele dieser Phänomene noch nicht verstanden. Während der experimentelle Zugang zu lokalen Größen häufig nicht möglich ist, erlauben numerische Untersuchungen deren Extraktion ohne Störung der zugrundeliegenden Strömung. Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich daher mit der Entwicklung und Implementierung eines Algorithmus zur globalen linearen Stabilitätsanalyse verformbarer fluider Partikel. Die mathematische Beschreibung der Stabilität erfolgt durch Eigenwerte, deren Berechnung durch eine Kombination aus numerischer Strömungslösung und linearer Algebra erfolgt. Dazu wird ein stationärer Zustand des Systems mit einer kleinen Störung überlagert und numerisch integriert, um die Evolution der Störung zu erhalten. Die Präsenz dynamischer Grenzflächen erfordert eine Transformation in eine Referenzkonfiguration, deren mathematische Grundlagen hergeleitet werden. Die Stabilität von zwei relevanten prototypischen Konfigurationen - sphärische Partikel in Schwerelosigkeit und frei aufsteigende Tropfen - wird untersucht, wobei die zu den instabilen Eigenwerten gehörenden Moden quantitativ und qualitativ beschrieben werden. Eine Initialisierung des numerischen Strömungslösers erfordert für kleine Störungen sehr genaue Volumenfraktionen, deren Berechnung in drei Raumdimensionen mathematisch anspruchsvoll ist und mittels einer im Rahmen dieser Arbeit neu entwickelten Methode erfolgt. Die Verwendung entsprecheder Divergenztheoreme für Hyperflächen erlaubt, in Kombination mit einer differentialgeometrisch motivierten Approximation, die Transformation von Integralen in drei Raumdimensionen in Linienintegrale, die einer numerischen Quadratur wesentlich einfacher zugänglich sind. Die Berücksichtigung topologischer Konfigurationen der geschnittenen Zellen erlaubt eine robuste Implementierung, die für Sphären, Ellipsoide und gestörte Sphären numerisch getestet wird. Die globalen Fehler der Volumenapproximation zeigen Konvergenz bis zu vierter Ordnung mit räumlicher Auflösung. Die Verwendung numerischer Methoden zur Stabilitätsanalyse physikalischer Systeme impliziert, dass die gefundenen Spektren sowohl numerische als auch physikalische Elemente enthalten. Für die hier untersuchten Strömungen spielt Oberflächenspannung eine zentrale Rolle, deren numerische Behandlung die Berechnung von mittleren Krümmungen aus Volumenfraktionen erfordert. Die substantiierte Interpretation der Ergebnisse einer Stabilitätsanalyse setzt daher genaue Kenntnis der Eigenschaften der implementierten numerischen Schemata voraus. Diese werden für die Methode der Höhenfunktionen theoretisch und numerisch für eine Reihe technisch relevanter Hyperflächen untersucht, wobei eine statistische Aufbereitung die Interpretation flankiert. Während für genügend genaue Volumenfraktionen die theoretischen Fehler für glatte Hyperflächen von zweiter Ordnung konvergieren, zeigt sich in numerischen Experimenten, dass die Qualität der Volumenfraktionen (im Sinne der globalen Volumenerhaltung) für die erwartete Konvergenz nicht hinreichend ist. Dies steht in direktem Zusammenhang mit den gefundenen instabilen Eigenwerten.German
Place of Publication: Darmstadt
Classification DDC: 600 Technik, Medizin, angewandte Wissenschaften > 620 Ingenieurwissenschaften
Divisions: 16 Department of Mechanical Engineering > Fluid Mechanics and Aerodynamics (SLA)
Date Deposited: 02 Mar 2020 09:40
Last Modified: 18 May 2020 12:32
DOI: 10.25534/tuprints-00011434
URN: urn:nbn:de:tuda-tuprints-114342
Referees: Bothe, Prof. Dr. Dieter and Tropea, Prof. Dr. Cameron
Refereed: 18 December 2019
URI: https://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/id/eprint/11434
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